題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．| 3 |
| 3 |
．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：
，焦點為
、
，雙曲線G：
的頂點是該橢
圓的焦點，設
是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線
、
與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形
的周長等于
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為.
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線、的斜率分別為
和
，探求和
的關系；
（3）是否存在常數
，使得
恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請說明理由．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9．
10．
（或
） 11．
12．
13．
14．
15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
解：
，……………………………………………… 3分
，……………………… 3分
（1）
；……………………………………………………. 2分
（2）因為
的解集為
，
所以
為
的兩根，……………………………………… 2分
故
，所以
，
．……………………………………. 2分
17．（本小題滿分12分）
解： 
………………………………………… 2分
………………………………………… 2分
……………………………………………………. 2分
（1）
的最大值為、最小值為
；……………………………………………… 2分
（2）單調增，故
，…………………………… 2分
即
，
從而的單調增區間為
．…………………… 2分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：
底面
，
又
，
，故
面
面，故
………………………………………………… 4分
（2）證明：
，
，故
是
的中點，故
由（1）知，從而
面
，故
易知
，故
面
……………………………………………… 5分
（3）過點
作
，垂足為
，連結
．
由（2）知，面，故
是二面角
的一個平面角．
設
，則
，
，
從而
，故
．……………… 5分
說明：如學生用向量法解題，則建立坐標系給2分，寫出相關點的坐標給2分，第（1）問正確給2分，第（2）問正確給4分，第（3）問正確給4分。
19．（本小題滿分14分）
解：（1）拋物線方程為
……………………………………………………… 2分
故焦點的坐標為
………………………………………………………… 2分
（2）設
20．（本小題滿分14分）
解：（1）當
時，
，
當
時，
所以
；…………………… 4分
（2）因為
，
所以
當
時，
，
當
時，
，
所以當
，
且
時，
，即
；………… 5分
（3）因為，
，所以，
因為
為等比數列，則
或
，
所以
或
（舍去），所以.………………………… 5分
21．（本小題滿分14分）
解：（1）由題意知，的定義域為
，
…… 1分
當
時， 
，函數在定義域上單調遞增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，當
時，函數無極值點．
②
時，
有兩個相同的解
，
時，
時，函數在
上無極值點．
…… 3分
③當
時，
有兩個不同解，
時，
，
,
此時 
，隨
在定義域上的變化情況如下表：
減
極小值
增
由此表可知：
時，有惟一極小值點
，
…… 5分
ii) 當
時，0<
<1
此時，，隨的變化情況如下表：
增
極大值
減
極小值
增
由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點
；
……
7分
綜上所述：
當且僅當
時有極值點;
…… 8分
當
時，有惟一最小值點
；
當時，有一個極大值點
和一個極小值點
（3）由(2)可知當
時，函數
，
此時有惟一極小值點
且
…… 9分
…… 11分
令函數
…… 12分
…… 14分
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