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②

①

由①②解得a=1,b=3

（2）

30解：（1）設(shè)正三棱柱―的側(cè)棱長(zhǎng)為．取中點(diǎn)，連．

是正三角形，．

又底面側(cè)面，且交線(xiàn)為．

側(cè)面．

連，則直線(xiàn)與側(cè)面所成的角為．

在中，，解得．

此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為．                 

 注：也可用向量法求側(cè)棱長(zhǎng)．

（2）解法1：過(guò)作于，連，

側(cè)面．為二面角的平面角．

在中，，

又，．

又在中，．

故二面角的大小為．      

（3）解法1：由（2）可知，平面,平面平面，且交線(xiàn)為，

過(guò)作于，則平面．

在中，．

為中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為． 

解法2：（思路）取中點(diǎn)，連和，

由，易得平面平面，且交線(xiàn)為．

過(guò)點(diǎn)作于，則的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離．

解法3：（思路）等體積變換:由可求．

解法4：（向量法，見(jiàn)后）

題（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

（2）解法2：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

設(shè)為平面的法向量．

由 得．取

又平面的一個(gè)法向量

．

結(jié)合圖形可知，二面角的大小為．     

（3）解法4：由（2）解法2，

點(diǎn)到平面的距離＝

31解：（1）由已知，（，），

即（，），且．

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．

∴．

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．

（?）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為1，

∴．

（?）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，

∴．

即，又為非零整數(shù)，則．

綜上所述，存在，使得對(duì)任意，都有．

32解：（1）∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．    

（2）顯然的斜率不為0，當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

，

即： ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．

∴三角形△ABF面積的最大值是．