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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

已知

（1）求函數在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實數a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

第二問中，，則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立， 

第三問中問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

                 …………4分

（2），則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

 

閱讀下面的文言文，完成下面5題。

李斯論  （清）姚鼐

蘇子瞻謂李斯以荀卿之學亂天下，是不然。秦之亂天下之法，無待于李斯，斯亦未嘗以其學事秦。

20070327

當秦之中葉，孝公即位，得商鞅任之。商鞅教孝公燔《詩》、《書》，明法令，設告坐之過，而禁游宦之民。因秦國地形便利，用其法，富強數世，兼并諸侯，迄至始皇。始皇之時，一用商鞅成法而已，雖李斯助之，言其便利，益成秦亂，然使李斯不言其便，始皇固自為之而不厭。何也？秦之甘于刻薄而便于嚴法久矣，其后世所習以為善者也。斯逆探始皇、二世之心，非是不足以中侈君張吾之寵。是以盡舍其師荀卿之學，而為商鞅之學；掃去三代先王仁政，而一切取自恣肆以為治，焚《詩》、《書》，禁學士，滅三代法而尚督責，斯非行其學也，趨時而已。設所遭值非始皇、二世，斯之術將不出于此，非為仁也，亦以趨時而已。

君子之仕也，進不隱賢；小人之仕也，無論所學識非也，即有學識甚當，見其君國行事，悖謬無義，疾首嚬蹙于私家之居，而矜夸導譽于朝庭之上，知其不義而勸為之者，謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也；知其將喪國家而為之者，謂當吾身容可以免也。且夫小人雖明知世之將亂，而終不以易目前之富貴，而以富貴之謀，貽天下之亂，固有終身安享榮樂，禍遺后人，而彼宴然^①無與者矣。嗟乎！秦未亡而斯先被五刑夷三族也，其天之誅惡人，亦有時而信也邪！

且夫人有為善而受教于人者矣，未聞為惡而必受教于人者也。荀卿述先王而頌言儒效，雖間有得失，而大體得治世之要。而蘇氏以李斯之害天下罪及于卿，不亦遠乎？行其學而害秦者，商鞅也；舍其學而害秦者，李斯也。商君禁游宦，而李斯諫逐客^②，其始之不同術也，而卒出于同者，豈其本志哉！宋之世，王介甫以平生所學，建熙寧新法，其后章惇、曾布、張商英、蔡京之倫，曷嘗學介甫之學耶？而以介甫之政促亡宋，與李斯事頗相類。夫世言法術之學足亡人國，固也。吾謂人臣善探其君之隱，一以委曲變化從世好者，其為人尤可畏哉！尤可畏哉！

 [注釋]①宴然：安閑的樣子。②諫逐客：秦始皇曾發布逐客令，驅逐六國來到秦國做官的人，李斯寫了著名的《諫逐客書》，提出了反對意見。

對下列句子中加點的詞語的解釋，不正確的一項是（    ）

    A．非是不足以中侈君張吾之寵         中：符合

    B．滅三代法而尚督責                 尚：崇尚

    C．知其不義而勸為之者               勸：鼓勵

    D．而終不以易目前之富貴             易：交換

下列各組句子中，加點的詞的意義和用法相同的一組是（    ）

A．因秦國地形便利             不如因普遇之

    B．設所遭值非始皇、二世       非其身之所種則不食

    C．且夫小人雖明知世之將亂       臣死且不避，卮酒安足辭

    D．不亦遠乎                     王之好樂甚，則齊國其庶幾乎

下列各項中，加點詞語與現代漢語意義不相同的一項是（    ）

    A．小人之仕也，無論所學識非也

    B．而大體得治世之要

C．而以富貴之謀，貽天下之亂

    D．一以委曲變化從世好者

下列各句中對文章的闡述，不正確的一項是（    ）

A．蘇軾認為李斯以荀卿之學輔佐秦朝行暴政，致使天下大亂，作者則認為李斯是完全舍棄了荀子的說學，李斯的做法只不過是追隨時勢罷了。

B．作者由論李斯事秦進而泛論人臣事君的問題，強調為臣者對于國君的“悖謬無義”之政，不應為自身的富貴而阿附甚至助長之。

C．此文主旨在于指出秦行暴政是君王自身的原因，作者所論的不可“趨時”，“中侈君張吾之寵”的道理，在今天仍有借鑒意義。

D．文章開門見山，擺出蘇軾的觀點，然后通過對秦國發展歷史的分析，駁斥了蘇說的謬論，提出了自己的見解。論證嚴密，逐層深入，是一篇典范的史論。

把文言文閱讀材料中畫橫線的句子翻譯成現代漢語。

   （1）秦之甘于刻薄而便于嚴法久矣

譯文：                                                                    

   （2）謂天下將諒我之無可奈何于吾君，而不吾罪也

譯文：                                                                   

   （3）其始之不同術也，而卒出于同者，豈其本志哉

譯文：