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設(shè)函數(shù)f(x)=x(

1

2

)x+

1

x+1

，A₀為坐標原點，A_n為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標為n（n∈N^*）的點，向量an=

n

k=1

Ak-1Ak

，向量i=（1，0），設(shè)θ_n為向量a_n與向量i的夾角，則滿足

n

k=1

tanθk＜

5

3

的最大整數(shù)n是

 

．

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一、選擇題：（本大題12個小題，每小題5分，共60分）

1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．

二、填空題：（本大題4個小題，每小題4分，共16分）

13．；    14．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}；    15．1，－1，2，－2；     16．

三、解答題：（本大題6個小題，共74分）

17．（12分）

解：（Ⅰ）∵()²＝?＋?＋?，∴ ()²＝?(＋)＋? ，

 即()²＝?＋?，即?＝0．∴△ABC 是以C為直角頂點的直角三角形．

∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，

∴sinA＋sinB的取值范圍為．

（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．

若a²(b＋c)＋b²(c＋a)＋c²(a＋b)≥kabc，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，

則有≥k，對任意的滿足題意的a、b、c都成立，

∵

＝[c²sin²A(ccosA＋c)＋c²cos²A(csinA＋c)＋c²(csinA＋ccosA)]

＝[ sin²AcosA＋cos²A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋                           

令t＝sinA＋cosA，t∈，

設(shè)f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．

f(t)＝t－1＋＋1，當(dāng)t－1∈時 f(t)為單調(diào)遞減函數(shù)，

∴當(dāng)t＝時取得最小值，最小值為2＋3，即k≤2＋3．

∴k的取值范圍為（－∞，2＋3]．

命題意圖：本題是平面向量與三角函數(shù)相結(jié)合的問題，運用平面向量的運算的意義轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的邊角關(guān)系，進而運用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求值域．第Ⅱ小題將不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值，其中運用了換元法．

18．（12分）

解：（Ⅰ）一次摸獎從個球中任選兩個，有種，它們等可能，其中兩球不同色有種，一次摸獎中獎的概率．

（Ⅱ）若，一次摸獎中獎的概率，三次摸獎是獨立重復(fù)試驗，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率是．

(Ⅲ)設(shè)每次摸獎中獎的概率為，則三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率為，，

，知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時取得最大值．又，解得．

答：當(dāng)時，三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次中獎的概率最大．

命題意圖：本題是一個在等可能性事件基礎(chǔ)上的獨立重復(fù)試驗問題，體現(xiàn)了不同概型的綜合．第Ⅲ小題中的函數(shù)是三次函數(shù)，運用了導(dǎo)數(shù)求三次函數(shù)的最值．如果學(xué)生直接用代替，函數(shù)將比較煩瑣，這時需要運用換元的方法，將看成一個整體，再求最值．

19．（12分）

（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10^x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10^－x，∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10^－x ②，由①，②解得f(x)＝(10^x－)，g(x)＝(10^x＋)．

（Ⅱ）由y＝(10^x－)得，(10^x)²－2y×10^x－1＝0，解得10^x＝y±，

∵10^x＞0，∴10^x＝y＋，x＝lg(y＋)，∴f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)＝lg(x＋)．x∈R．

（Ⅲ）解法一：g(x₁)＋g(x₂)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)

≥×2＋×2＝10＋＝2g()．

解法二：[g(x₁)＋g(x₂)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)

＝－＝

＝≥＝0．

（Ⅳ）f(x₁－x₂)＝f(x₁)g(x₂)－g(x₁)f(x₂)，g(x₁＋x₂)＝g(x₁)g(x₂)－f(x₁)f(x₂)．

命題意圖：考查函數(shù)的函數(shù)解析式，奇函數(shù)，單調(diào)性，反函數(shù)等常規(guī)問題的處理方法，第（Ⅲ）問，第（Ⅳ）問把函數(shù)與不等式的證明，函數(shù)與指對式的化簡變形結(jié)合起來，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力．

20．（12分）

解：設(shè)進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根據(jù)題意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

當(dāng)t＝0時，結(jié)論成立．

當(dāng)t＞0時，由左邊得x＞1＋10()

令m=，由0＜t≤16，m ≥，

記f(t)=1＋10（）=1＋10m²－10m³，（m ≥），

則f¢(t)=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵當(dāng)≤m ＜時，f¢(t)＞0；當(dāng)m ＞時，f¢(t)＜0，

∴所以m =時(此時t =)，f(t)最大值=1＋10（）²－10（）³=≈2.48．

當(dāng)t＝時，1＋10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．

由右邊得x≤＋1，

當(dāng)t＝16時，＋1有最小值＋1=∈(3，4)．即x≤3．

21．（12分）

（Ⅰ）解：設(shè)N(x₀，y₀)，（x₀＞0），則直線ON方程為y＝x，與直線x＝－p交于點M(－p，－)，代入＝得，＝，

或＝．

化簡得(p²－1)x₀²＋p²y₀²＝p²－1．

把x₀，y₀換成x，y得點N的軌跡方程為(p²－1)x²＋p²y²＝p²－1．(x＞0)

（1）當(dāng)0＜p＜1時，方程化為x²－＝1表示焦點在x軸上的雙曲線的右支；

（2）當(dāng)p＝1時，方程化為y＝0，表示一條射線（不含端點）；

（3）當(dāng)p＞1時，方程化為x²＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓的右半部分．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|＝＝

＝＝x₀＋1．

當(dāng)0＜p＜1時，因x₀∈[1，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．

當(dāng)p＝1，因x₀∈(0，＋∞)，故|AN|無最大值，不合題意．

當(dāng)p＞1時，x₀∈(0，1]，故當(dāng)x₀＝1時，|AN|有最大值＋1，由題意得＋1≤，

解得p≥2．所以p的取值范圍為[2，＋∞)．

命題意圖：通過用設(shè)點，代換，化簡，檢驗等步驟求曲線方程，考查解析幾何中已知曲線求方程的能力，并結(jié)合含參數(shù)的方程表示的曲線類型的討論考查學(xué)生的分類討論思想的應(yīng)用．

22．（14分）

解：（Ⅰ）∵　，a，N*，

∴　　　∴　　　∴　

∴　           ∴　a＝2或a＝3．

∵當(dāng)a＝3時，由得，即，與矛盾，故a＝3不合題意． 　

∴a＝3舍去，   ∴a＝2．

（Ⅱ），，由可得． 　

∴．∴ 是5的約數(shù)，又，∴　b＝5 ．

(Ⅲ)若甲正確，則存在（）使，即對N*恒成立，

當(dāng)時，，無解，所以甲所說不正確．

若乙正確，則存在（）使，即對N*恒成立，

當(dāng)時，，只有在時成立，

而當(dāng)時不成立，所以乙所說也不成立．

命題意圖：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，用兩邊夾的方法確定整數(shù)參數(shù)．第Ⅲ小題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．