題目列表(包括答案和解析)
已知
是正四面體，
為
之中點，則
與
所成的角為
A．
B．
C．
D．
已知
是正四面體，
為
之中點，則
與
所成的角為
A．
B．
C．
D．
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已知正四面體S-ABC，M為AB之中點，則SM與BC所成的角的正切值是 ．
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B
1l．B 12．A
1．解析：，故選A．
2．解析：
，∴選C．
3．解析：是增函數
故，即
又
，故選B．
4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經過點．此時目標函數取得最大值（注意與反號）
由得
，故選A
5．解析：設有人投中為事件，則，
故選C．
6．解析：展開式中能項；
由，得，故選C．
7．解析：
由得
，故選D．
8．略
9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為
，解得，
，故選D．
10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中
，故選B．
11．解析：由題意，則，故選B．
12．解析：由已知，
為球的直徑
，又，
設，則
，
又由，解得
，故選A．
另法：將四面體置于正方休中．
正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．
二、
13．解析：在上的投影是．
14．解析：，且．
15．解析：，
由余弦定理為鈍角
，即，
解得．
16．
解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為，顯然與為平面內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．
三、
17．解：（1），
，
即，故．
（2）
由得．
設邊上的高為，則
．
18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區服務為事件，則．
（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區服務為事件，那么．
（3）隨機變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災區服務，則，所以．
分布列是
1
2
19．解：（1）平面
∵二面角為直二面角，且，
平面 平面．
（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形， ，
二平面，由三垂線定理逆定理得
是二面角的平面角
由（1）平面，
．
在中，
∴在中，
故二面角等于．
（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則
，
設平面的法向量分別為，則由
得，而平面的一個法向理
故所求二面角等于．
20．解：（1）由題設，即
易知是首項為、公差為2的等差數列，
∴通項公式為，
（2）由題設，，得是以公比為的等比數列．
由得．
21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．
（2）證明：設、的坐標分別為
若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：
，
若沒有斜率時，方程為．
又．
；又，
．
22．（1）解：，于是，
解得或
因，故．
（2）證明：已知函數都是奇函數．
所以函數也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．
可知．函數的圖象按向量平移，即得到函數的圖象，故函數的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（3）證明；在曲線上作取一點，
由知，過此點的切線方程為
．
令，得，切線與直線交點為．
令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．
從而所圍三角形的面積為
所以，圍成三角形的面積為定值2．
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