題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試
合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是
，且面試是否合格互不影響.求：
（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率;
（Ⅱ）簽約人數
的分布列和數學期望.
(本小題滿分12分) 甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關游戲，按照規則，
甲先從
道備選題中一次性抽取
道題獨立作答，然后由乙回答剩余題，每人答對其中
題就停止答題，即闖關成功．已知在道備選題中，甲能答對其中的
道題，乙答對每道題
的概率都是
．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關成功的概率；
（Ⅱ）設甲答對題目的個數為ξ，求ξ的分布列及數學期望．
（本小題滿分12分）
甲、乙二名射擊運動員參加今年深圳舉行的第二十六屆世界大學生夏季運動會的預選賽，他們分別射擊了4次，成績如下表（單位：環）：
| 甲 | 5 | 6 | 9 | 10 |
| 乙 | 6 | 7 | 8 | 9 |
（本小題滿分12分）甲、乙等
名同學參加某高校的自主招生面試，已知采用抽簽的方式隨機確定各考生的面試順序（序號為
）．
（Ⅰ）求甲、乙兩考生的面試序號至少有一個為奇數的概率；
（Ⅱ）記在甲、乙兩考生之間參加面試的考生人數為
，求隨機變量的分布列與期望．
（本小題滿分12分）甲、乙等五名環保志愿者被隨機地分到
四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙兩人同時參加
崗位服務的概率；
（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率；
（3）設隨機變量
為這五名志愿者中參加崗位服務的人數，求的分布列．
一、選擇題：1~12(5×12=60)
題號
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
答案
B
B
A
B
C
D
B
C
B
C
C
D
二、填空題：13、B
；14、-
；15、32005；16、(2-2，2)。
三、解答題：
17.解：(1)根據已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0
即：a=
2sin2θ 2分
又由已知：
得
4分
所以有0<sin2θ<1
所以a∈(0，2) 6分
(2)當a=
時由(1)得2sin2θ= 8分
所以sinθ=
，而sin2θ=-cos(
+2θ)
=-2cos2(
)+1= 10分
所以cos2()=
,又
所以cos()=-
12分
18.(九A解法)解：(1)取AC、CC1中點分別為M、N，連接MN、NB1、MB1，
∵AC1∥MN，NB1∥CE
∴∠MNB1是CE與AC1成角的補角 2分
Rt△NB
Rt△MNC中，MN=6
Rt△MBB1中，MB1=
∴cos∠MNB1=-
∴CE與AC1的夾角為arccos 4分
(2)過D作DP∥AC交BC于P，則A1D在面BCC1B1上的射影為C1P，而CE⊥A1D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C1P，又BCC1B為正方形
∴P為BC中點，D為AB中點， 6分
∴CD⊥AB，CD⊥AA1
∴CD⊥面ABB
(3)由(2)CD⊥面A1DE
∴過D作DF⊥A1E于F，連接CF
由三垂線定理可知CF⊥A1E
∴∠CFD為二面角C-A1E-D的平面角 10分
又∵A1D=
∴A1D2+DE2=A1E2=324
∴∠A1DE=90°
∴DF=6，又CD=6
∴tan∠CFD=1
∴∠CFD=45°
∴二面角C-A1E-D的大小為45° 12分
(此題也可通過建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解)
19.解：由已知得：
不等式x2+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
即：p(x-1)+x2-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立
令f(p)=p(x-1)+x2-4x+3
則有函數f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。 4分
(1)顯然當x=1時不恒成立
(2)當x≠1時，有
即x>3或x<-1 10分
所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求 12分
20.解：(1)ξ=0、1、2、3
P(ξ=0)=
P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
P(ξ=3)= 
∴Eξ=1×
6分
(2)設甲考試合格為事件A，乙考試合格為事件B，A、B為相互獨立事件
P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=
P(B)=
甲、乙兩人均不合格為事件
p()=[1-P(A)][1-P(B)]=
∴甲、乙兩人至少有一人合各的概率為
12分
21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，則
得(1+
∴x A =-
,同理BC方程是y=-
可得xc=
2分
∴|AB|=|xA-0|?
|BC|=|xc-0|?
4分
∵|AB|=|BC|
∴
=解得a2=
∴橢圓方程為
6分
(2)設AB：y=kx+1(不妨設k>0且k≠1)代入
整理得(1+a2k2)x2+a2kx=0
∴xA=-
,同理xc=
8分
∴|AB|=
，
|BC|=
又|AB|=|BC|
∴
整理得
(k-1)[k2+(1-a2)k+1]=0 (k≠1)
∴k2+(1-a2)k+1=0 10分
∴△=(1-a2)2-4≥0,解得a≥
若△=0，則a=,此時k2+[1-()2]k+1=0
k1=k2=1與k≠1矛盾，故a>. 12分
22.解：(1)由已知有f′(x)=2n
令f′(x)=0
得x=±
2分
∵x∈[0,+∞],∴x=
∵0<x<時f′(x)<0
X>時f′(x)>0
∴當x=時，fmin(x)=an=2n
=
5分
(2)由已知Tn=cos
=
7分
∵
9分
∴π>
又y=cosx在(0,π)上是減函數
∴Tn是遞增的
∴Tn<Tn+1(n∈N*) 10分
(3)不存在
由已知點列An(2n,),顯然滿足y2=x2-1,(x=2n) 12分
即An上的點在雙曲線x2-y2=1上，且在第一象限內
∴任意三點An、Am、Ap連線的斜率KAnAm，KAnAp，KAmAp均為正值。
∴任意兩個量的乘積不可能等于-1
∴三角形AnAmAp三個內角均無直角
∴不可能組成直角三角形。 14分
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