題目列表(包括答案和解析)
向量a = (1,2)，b = (x,1)，c = a + b，d = a - b，若c//d，則實數x的值等于
sinθ,1),其中θ∈(0,
).(1)求a·b-c·d的取值范圍；
(2)若函數f(x)=|x-1|,判斷f(a·b)與f(c·d)的大小，并說明理由.
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A．{x|x＞-6} | B．{x|x＜-6} | ||
| C．{x|x≥-6} | D．{x|x＞-6且x≠
|
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
C
B
A
C
B
C
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中12題的第一個空3分，第二
個空2分.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
15．解：(1) 根據題意，可知
，
，即
. ……………………………2分
于是
. ………………………………………………………………………………………………3分
將點
代入
，得
即
. …………………………………………………………5分
滿足的最小正數
. ……………………………………………………………7分
從而所求的函數解析式是
. ……………………………………………8分
(2)略.（振幅變換1分.周期變換、相位變換做對一個2分，全對3分） ……12分
16．解：顯然
是隨機變量.
(1)
.
. …………………………………6分
(2)由
的期望為
，得
，即
. …………………9分
根據表中數據，得
，即
. ………………………………………………11分
聯立解得
. …………………………………………………………………………………………12分
17.解：(1)連結PQ，AQ.
∵△PCD為正三角形， ∴PQ⊥CD.
∵底面ABCD是∠ADC
的菱形，∴AQ⊥CD.
∴CD⊥平面PAQ. ………………………………………………………………………………………………4分
∴PA⊥CD.
(2)設平面CDM交PA于N，∵CD//AB， ∴CD//平面PAB. ∴CD//MN.
由于M為PB的中點，∴N為PA的中點. 又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.
由(1)可知PA⊥CD， ∴PA⊥平面CDM. ………………………………8分
∴平面CDM⊥平面PAB.
∵PA⊥平面CDM，聯接QN、QA，則ÐAQN為AQ與平面CDM所成的角. ……10分
在RtDPMA中，AM=PM=
，
∴AP=
，∴AN=
，sinÐAQN=
=
.
∴ÐAQN =45°.…………………………………………………14分
(2)另解（用空間向量解）：
由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.
又由側面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.
因此可以如圖建立空間直角坐標系
. ………………………………………………………6分
易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、
C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分
①由
=（, 0 , -），
=（0 , -2 , 0），得
×
=0.
∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分
②由M（
, 1 , -），
=（, 0 , -），得×
=0.
∴PA⊥CM . ……………………………………………………………………10分
∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.
從而就是平面CDM的法向量.………………………12分
設AQ與平面所成的角為q ，
則sinq =|cos<
,>|=
.
∴AQ與平面所成的角為45°.……………………14分
18．解：(1)根據題意，
有解，
∴
即
. ……………………………………………………………………………3分
(2)若函數
可以在
和
時取得極值，
則有兩個解和，且滿足.
易得
. ………………………………………………………………………………………………6分
(3)由(2)，得
. ………………………………………………………………7分
根據題意，
(
)恒成立. ……………………………………………9分
∵函數
（）在時有極大值（用求導的方法），
且在端點
處的值為
.
∴函數（）的最大值為. …………………………13分
所以
. …………………………………………………………………………………………………………14分
19．解：(1)由于橢圓
過點
，故
.…………………………………1分
,
橫坐標適合方程
解得
(
即
)．………………………………………………………4分
即,橫坐標是(即).……………………………………5分
(2)根據題意，可設拋物線方程為
． …………………6分
∵
，∴
．………………………………………………………………7分
把
和（等同于,坐標（
，
））代入式拋物線方
程，得
. ……………………………………9分
令
．……………………………………10分
則
內有根（并且是單調遞增函數），
∴
………………………………………………………………13分
解得
． …………………………………………………………………………………………14分
20．解：（1）∵f1(0)=2，a1=
=
，fn+1(0)= f1［fn(0)］=
, …………2分
∴an+1=
=
=
= -
= -an. ……………4分
∴數列｛an｝是首項為,公比為-的等比數列，∴an=(
)n-1. ………………5分
（2）∵T2 n = a1+
∴T2 n= (-a1)+(-)))(2n-1)a2 n－1+
2na2 n
= a 2+
兩式相減，得
T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ……………………………………………………7分
∴T2n =
+n×(-)2n-1=
-(-)2n+
(-)2n-1.
T2n =
-(-)2n+
(-)2n-1=(1-
). ……………9分∴9T2n=1-.
又Qn=1-
， ……………………………………………………………………………………………10分
當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ……………………………………………………11分
當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； …………………………………………………12分
當n≥3時，
，
∴9T2 n＞Q n. …………………………………………………………………………………………………………14分
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