題目列表(包括答案和解析)
有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點建設項目，為了對重點建設項目負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強度指數如下：
| | 110 | 120 | 125 | 130 | 135 |
| P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
|
| 100 | 115 | 125 | 130 | 145 |
| P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
其中
和
分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120的條件下，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩定性較好.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
理
A
C
B
D
A
C
B
C
C
B
B
D
文
D
C
B
D
B
C
B
C
C
B
A
D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．（理）2 （文） 14．（理） （文）243 15． 16．（1，2）（2，3）
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．解： ????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
由正弦定理得???????????????????????????????????????????? （4分）
??????????????????????????????????????????????????????????????? （5分）
??????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????????????????????????????? （8分）
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （9分）
????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
18．（理）解：????????????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????????????????????????? （6分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
由此可知，，從而兩廠材料的抗拉強度指數平均水平相同，但甲廠材料相對穩定，該選甲廠的材料。??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：記“甲第次試跳成功“為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得且相互獨立?????????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
（I）“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨立，
。
答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件，
解法一：且彼此互斥，
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：
答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88
19．（I）證明：由直三棱柱性質知
又
???? …………………………………（理4分文6分）
（Ⅱ）以A為原點，分別為
軸，建立如圖的空間直角坐標系
直線
連結易知是平面的一個法向量，
=（0，1，-1），設為平面
的一個法向量，則
又
令得得
設二面角的大小為，則
二面角的大小為…………………………（理8分文12分）
（Ⅲ）又
點到平面的距離………………………（理12分）
20．（理）解：（I）
當，即時，在上單調遞增
???????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????? （4分）
?????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）令
??????????? （7分）
??????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）因為邊所在直線的方程為
…………………………………（1分）
…………………………（4分）
（Ⅱ）由??????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????? （8分）
（Ⅲ）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
所以，
即
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支。
因為實半軸長半焦距
所以虛半軸長
從而動圓的圓心的軌跡方程為????????????????????????? （12分）
21．（理）
解法一：（I）如圖,設把代入得
，由韋達定理得???????????????????????? （2分）
點的坐標為???????????????????????????????? （3分）
設拋物線在點處的切線的方程為
將代入上式得
（Ⅱ）
由（I）知
???????????????????? （9分）
??????????????????? （11分）
?????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：（I）設
??????????????????????? （2分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
由（I）知
則
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）
?????????????????????????????????????????????????????????? （3分）
由于，故當時達到其最小值，即
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
列表如下：
+
0
-
0
+
極大值
極小值
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
由此可見，在區間和單調增加，在區間單調減小，
極小值為極大值為?????????????????????????????????????????????? （12分）
22． 解：
（I）????????????????????????????????????????????????? （2分）
（Ⅱ）由（I）知
……
???????????????????????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
（文）（Ⅲ）
???????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（理）（Ⅲ）
?????????????????????????????????? （12分）
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