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（本小題滿分14分）已知函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若函數在[上有零點，求的最大值；（Ⅲ）證明：在其定義域內恒成立，并比較與（且）的大小.

（本小題滿分14分）對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.
（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？   并說明理由；
（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值.
.

（本小題滿分14分）
已知定義域為的函數同時滿足以下三個條件:
① 對任意的，總有≥0； ②；
③若且，則有成立，并且稱為“友誼函數”，
請解答下列各題：
（1）若已知為“友誼函數”，求的值；
（2）函數在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
（3）已知為“友誼函數”,且 ,求證:

（本小題滿分14分）
已知函數
(Ⅰ)請研究函數的單調性；
(Ⅱ)若函數有兩個零點，求實數的取值范圍；
(Ⅲ)若定義在區間D上的函數對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式成立，則稱函數為區間D上的“凹函數”.若函
數的最小值為，試判斷函數是否為“凹函數”，并對你的判斷加以證明.

（本小題滿分14分）

已知函數，，其中．

（1）若函數是偶函數，求函數在區間上的最小值；

（2）用函數的單調性的定義證明：當時，在區間上為減函數；

（3）當，函數的圖象恒在函數圖象上方，求實數的取值范圍．