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已知函數f（t）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k為常數，且f（1）=1，f（2）=17．
（1）若t為正整數，求f（t）的解析式（已知公式：；
（2）求滿足f（t）=t的所有正整數t；
（3）若t為正整數，且t≥4時，f（t）≥mt²+（4m+1）+3m恒成立，求實數m的最大值．

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設向量，函數在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求b_n的表達式；
（3）c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結論．

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設向量，函數在[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又數列{b_n}滿足：
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求b_n的表達式；
（3）c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有c_n≤c_k成立？證明你的結論．

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2008．9

一、（每題5分，共60分）

  1.B  2.B  3.B  4.C  5.C   6.A   7.D  8.B  9.A  10.C   11.D  12.B

二、（每題5分，共20分）

     13.若則     14.

     15.15人                  16.20

三、17.（10分）

     ④當時，有

     綜上所述，m 的取值范圍為

          ……………………………………………………………（10分）

18.（12分）

   解：求導得：，由于的圖象與直線

相切于點（1，-11）所以有          即：

……………………………………………………………………………（8分）

解得  ………………………………………………………（10分）

所以………………………………………………（12分）

19.（12分）

解：（1）當時，不等式化為：即…………………（2分）（2）當時，原不等式可化為：

     當時，有∵∴…………（4分）

當時，原不等式可化為：

①當即時有

②當即時

③當即時………………………………………（10分）

20.（12分）

   解：設剪去的小正方形邊長為x┩，則鐵盒的底面邊長分別為：

┩，┩，所以有      得…………（2分）

設容積為U，則…………（4分）

則令得或（舍去）………（8分）當時，   當時，

∴當時，取得極大值，即的最大值為18………………（11分）

所以剪去的小正方形邊長為1┩時，容積最大，最大容積為18

……………………………………………………………………（12分）

21.（12分）

解：函數的導數令得或………………………………………………………………（2分）

當時，即時,函數在上為增函數,不合題意。

……………………………………………………………（4分）

當時，即時，函數在上為增函數，在內為減函數，在上為增函數……………………………………（8分）

依題應有當時；當時所以：，解得，因此所求范圍為………………（12分）

22.（12分）

（Ⅰ）設，則對于都有

等價于對于恒成立。………………（2分）

∴只需在上的最小值即可

∴與的關系如下表：

-3

（-3，-1）

-1

（-1，2）

2

（2，3）

3

+

0

-

0

+

-45+k

增

7+k

減

-20+k

增

-9+k

于是的最小值為,所以，即為所求…………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）對任意都有“”

等價于“的最大值小于或等于在的最小值”……………………………………………………………………（8分）

下面求在上的最小值

列表

-3

（-3，-1）

-1

3

+

0

-

0

+

-21

增

-1

減

增

111

∴在上的最小值為－21，又在內最大值為于是∴為所求。

………………………………………………………………（12分）