題目列表(包括答案和解析)
內的
、
，求事件“
”的概率
內的概率為
.
（i）當點C在圓周上運動時，求的最大值；
（ii）記平面
與平面
所成的角為
，當取最大值時，
求
的值。
(i=1,2,3,4),其中m為常數.求（1）P（ξ=1或ξ=2）；
（2）P（
<ξ<
).
題干
概率為
。
（i）當點C在圓周上運動時，求的最大值；
（ii）記平面
與平面
所成的角為
，當取最大值時，求
的值。
零件直徑相等的概率。本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率等基礎知識，考查數據處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12分
【解析】（Ⅰ）解：由所給數據可知，一等品零件共有6個.設“從10個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件A，則P（A）=
=
.
（Ⅱ）（i）解：一等品零件的編號為
.從這6個一等品零件中隨機抽取2個，所有可能的結果有：
,
,
,
,
,
,
共有15種.
(ii)解：“從一等品零件中，隨機抽取的2個零件直徑相等”（記為事件B）的所有可能結果有：
，
，共有6種.
所以P(B)=
.
（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=
，∠BAD＝∠CDA＝45°.
（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；
（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。
一、ADBCC CCBBA DC
二、13. 
,
;14. 
；15. 
．16. 
三、
17.
解: (Ⅰ)由
, 
是三角形內角，得
……………..
∴ 
………………………………………..
…………………………………………………………6分
(Ⅱ) 在
中,由正弦定理，
，
…
, ,
由余弦定理得:
=
………………………………12分
18.
解：（I）已知
，
只須后四位數字中出現2個0和2個1.
…………4分
（II）
的取值可以是1，2，3，4，5，.
…………8分
的分布列是
1
2
3
4
5
P
…………10分
…………12分
（另解：記
.）
19.
證明： 解法一：（1）取PC中點M，連結ME、MF，則MF∥CD，MF=
CD，又AE∥CD，AE=CD，∴AE∥MF，且AE=MF，∴四邊形AFME是平行四邊形，∴AF∥EM，∵AF
平面PCE，∴AF∥平面PCE. …………………………………(4分)
(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD. ∴CD⊥PD，∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°， ………………………………………………………………(6分)
∴△PAD是等腰直角三角形，∴AF⊥PD，又AF⊥CD，∴AF⊥平面PCD，而EM∥AF，∴EM⊥平面PCD. 又EM
平面PEC，∴面PEC⊥面PCD. 在平面PCD內過F作FH⊥PC于H，則FH就是點F到平面PCE的距離. …………………………………(10分)
由已知，PD=
，PF=
，PC=
，△PFH∽△PCD，∴
，
∴FH=
.
………………………………………………………………(12分)
解法二：（1）取PC中點M，連結EM，
=
+
=
，∴AF∥EM，又EM平面PEC，AF平面PEC，∴AF∥平面PEC. ………………………………………(4分)
（2）以Ａ為坐標原點，分別以
所在直線為x、y、z
軸建立坐標系. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°. ……(6分)
∴A(0, 0, 0),
P(0, 0, 2), D(0, 2, 0), F(0, 1, 1), E
, C(3, 2, 0)，
設平面PCE的法向量為
=(x, y, z)，則⊥
，⊥
，而=（-
，0，2），
=（，2，0），∴-x+2z=0，且x+2y=0，解得y=-
x，z=x. 取x=4
得=(4, -3, 3)，………………………………………………………………(10分)
又
=（0，1，-1），
故點F到平面PCE的距離為d=
.…………(12分)
20.
解:1)函數
.又
,故
為第一象限角,且
.
函數
圖像的一條對稱軸方程式是: 
得
又
c為半點焦距，
由
知橢圓C的方程可化為
（1）
又焦點F的坐標為（
），AB所在的直線方程為
（2）
（2分)
（2）代入（1）展開整理得
（3）
設A（
），B（
），弦AB的中點N（
），則
是方程（3）的兩個不等的實數根，由韋達定理得
（4）
即為所求。 （5分）
2）
與
是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量
，有且只有一對實數
使得等式
成立。設
由1）中各點的坐標可得：
又點
在橢圓上，代入（1）式得
化為：
（5）
由（2）和（4）式得
又
兩點在橢圓上，故1有
入（5）式化簡得：
由
得到
又
是唯一確定的實數，且
，故存在角
，使
成立，則有
若
，則存在角
使等式
成立；若
由
與
于是用代換
，同樣證得存在角使等式：成立.
綜合上述，對于任意一點
，總存在角使等式：成立.
（12分）
21．解：(Ⅰ) 
所以函數
在
上是單調減函數.
…………………………4分
(Ⅱ)
證明:據題意
且x1<x2<x3,
由(Ⅰ)知f
(x1)>f (x2)>f (x3), x2=
…………………………6分
…………………8分
即ㄓ
是鈍角三角形……………………………………..9分
(Ⅲ)
假設ㄓ為等腰三角形，則只能是
即
①
…………………………………………
而事實上, 
②
由于
,故(2)式等號不成立.這與
式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..13分
22．
解：⑴∵
，又
，
為遞增數列即為，
當
時，
恒成立
，當
時，
的最大值為
。∴ 
。∴b的取值范圍是：
（6分）
⑵ 
①又 
②
①-②：
，
當
時，有
成立，
得
與
同號，于是由遞推關系得與
同號，因此只要
就可推導
。又
，又
，
即首項
的取值范圍是
（13分）
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