題目列表(包括答案和解析)
高校招生是根據(jù)考生所填報的志愿，從考試成績所達到的最高第一志愿開始，按順序分批錄取，若前一志愿不能錄取，則依次給下一個志愿（同批或下一批）錄取.某考生填報了三批共6個不同志愿（每批2個），并對各志愿的單獨錄取以及能考上各批分數(shù)線的概率進行預測，結果如“表一”所示（表中的數(shù)據(jù)為相應的概率，a、b分別為第一、第二志愿）.
表一
| 批次 | 高考上線 | a | b |
| 第1批 | 0.6 | 0.8 | 0.4 |
| 第2批 | 0.8 | 0.9 | 0.5 |
| 第3批 | 0.9 | 0.95 | 0.8 |
（Ⅰ）求該考生能被第2批b志愿錄取的概率；
（Ⅱ）求該考生能被錄取的概率；
（Ⅲ）如果已知該考生高考成績已達到第2批分數(shù)線卻未能達到第1批分數(shù)線，請計算其最有可能在哪個志愿被錄�。浚ㄒ陨辖Y果均保留二個有效數(shù)字）
| 事件 | 省數(shù)學競獲一等獎 | 自主招生考試通過 | 高考達重點線 | 高考達該校分數(shù)線 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
（本小題滿分12分）一名高二學生盼望進入某名牌大學學習，不放棄能考入該大學的任何一次機會。已知該大學通過以下任何一種方式都可被錄�。�
① 2010年2月國家數(shù)學奧賽集訓隊考試通過（集訓隊從2009年10月省數(shù)學競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進入集訓隊則能被該大學提前錄取）；
② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分數(shù)達重點線；
③ 2010年6月高考達到該校錄取分數(shù)線（該校錄取分數(shù)線高于重點線）。
該名考生競賽獲省一等獎、自主招生考試通過、高考達重點線、高考達該校分數(shù)線等事件的概率如下表：
| 事件 | 省數(shù)學競獲一等獎 | 自主招生考試通過 | 高考達重點線 | 高考達該校分數(shù)線 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
如果數(shù)學競賽獲省一等獎，該學生估計自己進入國家集訓隊的概率是0.4。
（1）求該學生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學期望；
（3）求該學生被該大學錄取的概率。
（本小題滿分12分）一名高二學生盼望進入某名牌大學學習，不放棄能考入該大學的任何一次機會。已知該大學通過以下任何一種方式都可被錄�。�
① 2010年2月國家數(shù)學奧賽集訓隊考試通過（集訓隊從2009年10月省數(shù)學競賽壹等獎獲得者中選拔，通過考試進入集訓隊則能被該大學提前錄�。�；
② 2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分數(shù)達重點線；
③ 2010年6月高考達到該校錄取分數(shù)線（該校錄取分數(shù)線高于重點線）。
該名考生競賽獲省一等獎、自主招生考試通過、高考達重點線、高考達該校分數(shù)線等事件的概率如下表：
| 事件 | 省數(shù)學競獲一等獎 | 自主招生考試通過 | 高考達重點線 | 高考達該校分數(shù)線 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
如果數(shù)學競賽獲省一等獎，該學生估計自己進入國家集訓隊的概率是0.4。
（1）求該學生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學生參加考試次數(shù)的分布列與數(shù)學期望；
（3）求該學生被該大學錄取的概率。
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1.B 2. C 3. D 4.C 5.B 6.D 7.A 8. B.
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9.
； 10.（-1，2）； 11.0； 12.
（或
）；
13.（1）
或 
；（2）16；（3）
.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
14.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵
當
時，其圖象如右圖所示.---4分
（Ⅱ）函數(shù)的最小正周期是
，其單調(diào)遞增區(qū)間是
；由圖象可以看出，當
時，該函數(shù)的最大值是
.--------------7分
（Ⅲ）若x是△ABC的一個內(nèi)角，則有
，∴
由
，得
∴
∴
，
，故△ABC為直角三角形. --------------12分
15．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
--------6分
（Ⅱ）當
時，
----------12分
16．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條
側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的
正方形，高為CC1=6，故所求體積是
------------------------4分
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，
其拼法如圖2所示. ------------------------6分
證明:∵面ABCD、面ABB
正方形，于是
故所拼圖形成立.---8分
（Ⅲ）方法一：設B1E，BC的延長線交于點G，
連結GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，
連結HB1，則B1H⊥AG，故∠B1HB為平面AB1E與
平面ABC所成二面角或其補角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中，
，則
，
，
，故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為
.---14分
方法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.
設向量n=（x，y，z），滿足n⊥
，n⊥
，
于是
，解得
.
--------------------12分
取z=2，得n=（2，-1，2）. 又
（0，0，6），
故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為.
----------------14分
17．（本小題滿分14分）
解：分別記該考生考上第1、2、3批分數(shù)線為事件A、B、C，被相應志愿錄取為事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 則以上各事件相互獨立. -------------------------------------2分
（Ⅰ）“該考生被第2批b志愿錄取”包括上第1批分數(shù)線和僅上第2批分數(shù)線兩種情況，故所求概率為
. -----------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）設該考生所報志愿均未錄取的概率為
，則
.
∴該考生能被錄取的概率為
. ------------10分
，當
時，
.
在[1，3]上是增函數(shù).---------------------------------3分
≤
，即 -2≤
，都有
≤M成立.
是[1，3]上的有界函數(shù).---------------------------6分
. 由
≤1，得
≤1
，則
.
時，有
，
上單調(diào)遞減.
-------------------------------10分
；
，當t→+∞時，
，從而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范圍為0≤a≤1.---------------------------------------------14分
的半焦距為：
，
的準線為：
. 
，依題意有
，
，又
.
. ------------------------4分
與雙曲線M的交點為
、
兩點
消去y得
，
，從而有
，
.
，
.
，則有 
，即
.
時，使得
,使A、B兩點關于直線
對稱，則必有 
，
時，由
得 
在直線
代入上式得
；又
， ∴
，得 
.
，使A、B兩點關于直線