題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)＝alnx－x2＋1.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實數a和b的值；
(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．
【解析】第一問中利用f′(x)＝
－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，
由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.
第二問中，利用當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，
∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，
即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結合構造函數和導數的知識來解得。
(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，
由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.
(2)當a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
不妨設0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，
∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，
令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數，
∵g′(x)＝－2x＋1＝
(x>0)，
∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時恒成立，
∴1＋8a≤0，a≤－
，又a<0，
∴a的取值范圍是
（本小題滿分12分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}。
(1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范圍；
(2) 若A∪B＝B，求a的取值范圍。
（本小題滿分12分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}。
(1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范圍；
(2) 若A∪B＝B，求a的取值范圍。
（本題滿分10分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．
(1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范圍；
(2) 若A∪B＝B，求a的取值范圍．
（10分）.已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-2或x>6}．
(1)若A∩B＝Φ，求a的取值范圍； (2) 若A∪B＝B，求a的取值范圍．
1．
； 2. 2. 3.200 4. 3 5．
6.
7．
8．6 9．
； 10.
11.1005 12.4 13. 1 14．
15．解： (1)．如圖，
，
即
．
（2）．在
中，由正弦定理得
由(1)得
，
即
．
16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴
，∴
；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得 
∵
，∴
∵
平面ABC，∴PA⊥BC.
(Ⅱ) 如圖所示取PC的中點G，
連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點
又D、E分別為BC、AC的中點，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分
∴面ABG∥面DEF
即PC上的中點G為所求的點 …………… 9分
(Ⅲ)
17．解：（1）由題意得
，
整理得
，解得
，
所以“學習曲線”的關系式為
．
（2）設從第
個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率為
，則
令
，則
，
顯然當
，即
時，最大，
將代入，得
，
所以，在從第3個單位時間起的2個單位時間內的平均學習效率最高．
18. 解：（1）由題可得
，
，設
則
，
，……………………2分
∴
，∵點
在曲線上，則
，∴
，從而
，得
.則點P的坐標為
. ……………………5分
（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為
，………6分
則BP的直線方程為：
.由
得
，設
，則
，
同理可得
，則
，
. ………………9分
所以：AB的斜率
為定值. ………………10分
（3）設AB的直線方程：
.
由
，得
，
由
，得
P到AB的距離為
，………………12分
則
。
當且僅當
取等號
∴三角形PAB面積的最大值為
。………………14分
19.解:
(1)依題意有
,于是
.
所以數列
是等差數列.
.4分
(2)由題意得
,即
, (
)
①
所以又有
.
②
由②
①得：
, 所以
是常數．
由
都是等差數列.
，那么得 
,
. (
故
1０分
(3) 當
為奇數時,
,所以
當為偶數時,
所以
作
軸,垂足為
則
,要使等腰三角形
為正三角形,必須且只須：
.
當為奇數時,有
,即
①
， 當
時，. 
不合題意．
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
.
；
；當
時，不合題意．
綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，
的值為
；
；
；
16分
20⑴當x≥1時，
只需2+a≥0即a≥-2
⑵作差變形可得：
=
(*)
x1>0，x2>o 
從而
∴ln
,又a<0 ∴（*）式≥0
即
(當且僅當x1=x2時取“=”號)
（3）
可化為：
x
∴lnx≤1≤x,因等號不能同時取到，∴lnx<x,lnx―x<0
∴a≥
令
, x ,
=
x,∴lnx―1―
<0，且1―x≤0
從而，
,所以g(x)在x上遞增，從而
=g(1)= ―
由題設a≥―
即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―
能成立且a
21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可證MB=OC=
AB
（2）由△PMB∽△BMC，得
,∴BP=
B、設M=
，則
=8=
，故
=
，故
聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=
．
C.求直線
（
）被曲線
所截的弦長，將方程，
分別化為普通方程：
，
………(5分)
D．解：由柯西不等式可得 
22、解析：（1）記“
”為事件A， （
）的取值共有10種情況，…………1分
滿足的（）的取值有以下4種情況：
（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），
所以
；
（2）隨機變量的取值為2，3，4，5，的分布列是
2
3
4
5
P
…………10分
所以的期望為
23、解：（1）由
得
∵在數列
中
，∴
，∴
故數列中的任意一項都小于1
（2）由（1）知
，那么
，
由此猜想：
（n≥2）.下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，顯然成立；
②當n=k時（k≥2,k∈N）時，假設猜想正確，即
，
那么
，
∴當n=k+1時，猜想也正確
綜上所述，對于一切
，都有。
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