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題目列表(包括答案和解析)

10、,設(shè){an}是正項(xiàng)數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn滿足:4Sn=(an-1)(an+3),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=
2n+1

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精英家教網(wǎng),如圖給出的是計(jì)算
1
2
+
1
4
+
1
6
+…+
1
20
的值的一個(gè)程序框圖,其中判斷框內(nèi)填入的條件是
 

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5、α,β為兩個(gè)互相垂直的平面,a、b為一對(duì)異面直線,下列條件:
①a∥α、b?β;②a⊥α.b∥β;
③a⊥α.b⊥β;④a∥α、b∥β且a與α的距離等于b與β的距離,其中是a⊥b的充分條件的有( 。

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,設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)=0,則.
(i)f(
32
)=
 
;
(ii)設(shè)S為f(x)=0在區(qū)間[0,20]內(nèi)的所有根之和,則S的最小值為
 

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,已知y=f(x)是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)=1,數(shù)列{an}滿足a1=4,f(log3-
an+1
4
)f(-1-log3
an
4
)=1
(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,試比較Sn與6n2-2的大。

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程,我國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下:

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購(gòu)買一套商品房,計(jì)劃貸款25萬(wàn)元,其中公積金貸款10萬(wàn)元,分十二年還清;商業(yè)貸款15萬(wàn)元,分十五年還清.每種貸款分別按月等額還款,問(wèn):
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款,如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清;那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù):1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r,每月還款數(shù)為a元,總貸款數(shù)為A元,還款期限為n月
  第1月末欠款數(shù) A(1+r)-a
  第2月末欠款數(shù) [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a
    第3月末欠款數(shù) [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a
          。紸(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a
  ……
  第n月末欠款數(shù) 
    得:                                  

  對(duì)于12年期的10萬(wàn)元貸款,n=144,r=4.455‰
  ∴
  對(duì)于15年期的15萬(wàn)元貸款,n=180,r=5.025‰
  ∴
  由此可知,先生家前12年每月還款942.37+1268.22=2210.59元,后3年每月還款1268.22元.
  (2)至12年末,先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
   
  其中A=150000,a=1268.22,r=5.025‰  ∴X=41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元,當(dāng)月共還款43880.12元.   

    需要提及的是,本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器,就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算,這在2002年全國(guó)高考第(12)題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),經(jīng)檢測(cè),病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.

(1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天)

(2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天)

    天數(shù)t

    病毒細(xì)胞總數(shù)N

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    1

    2

    4

    8

    16

    32

    64

     

     

     

     

     

     

     

     

    講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由

    兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,

       即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

    (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

    再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

    由題意≤108,兩邊取對(duì)數(shù)得

    ,

         故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.

        本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”,這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

         例12 有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +[g(0)- ]?e(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

    (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); 

    (2)求證:當(dāng)g(0)< 時(shí),湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重; 

    (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?

     講解(1)∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)=   .                      

    (2) 我們易證得0<t1<t2, 則

    g(t1)-g(t2)=[g(0)- ]e-[g(0)- ]e=[g(0)- ][e-e]=[g(0)- ,

    ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,

    ∴g(t1)<g(t2)    .                                                      

    故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加,污染越來(lái)越嚴(yán)重.                

    (3)污染停止即P=0,g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過(guò)t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

    =e,∴t= ln20,

    故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

    高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.

     

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