在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）證明：直線A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的長；
（3）求經過A₁，C₁，B，D四點的球的表面積．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）證明：直線A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的長；
（3）求經過A₁，C₁，B，D四點的球的表面積．

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為．
（1）證明：直線A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的長；
（3）求經過A₁，C₁，B，D四點的球的表面積．

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如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面所成的角為60°，AB=BC，A₁A=A₁C=2，AB⊥BC，側面AA₁C₁C⊥底面ABC．
（1）證明：A₁B⊥A₁C₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的大小；
（3）求經過A₁、A、B、C四點的球的表面積．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

A

C

C

D

A

B

D

C

B

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．第13題第1個空3分,第2個空2分.

11．0         12．79         13．，        14．1       15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數性質和三角函數的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力）

解：（1）

                 ．                     
    ∵R，

∴函數的值域為．                                      

（2）∵，，

∴，．

∵都是銳角，

∴，．             

∴                                          

∴的值為．                             

17．（本小題主要考查古典概型等基礎知識，考查化歸和轉化、分類與整合的數學思想方法，以及簡單的推理論證能力）

解：由于實數對的所有取值為：，，，，，，，，，，，，，，，，共16種．                                         

設“直線不經過第四象限”為事件，“直線與圓有公共點”為事件．                                                 

（1）若直線不經過第四象限，則必須滿足             

即滿足條件的實數對有，，，，共4種． 

∴．

故直線不經過第四象限的概率為．                     

（2）若直線與圓有公共點，則必須滿足≤1，即≤．

若，則符合要求，此時實數對（）有4種不同取值；

若，則符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時實數對（）有2種不同取值；

若，則符合要求，此時實數對（）有4種不同取值．

∴滿足條件的實數對共有12種不同取值．                     

∴．

故直線與圓有公共點的概率為．            

18．（本小題主要考查空間線面關系、幾何體的表面積與體積等知識，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、運算求解能力）

（1）證法1：如圖，連結，

∵是長方體，

∴且．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

∵平面，平面，

∴平面．                                           

證法2：∵是長方體，

∴平面平面．

∵平面，平面，

∴平面．                                            

（2）解：設，∵幾何體的體積為，

∴，                        

即，

即，解得．

∴的長為4．                                                  

（3）如圖，連結，設的中點為，連

∵是長方體，∴平面．

∵平面，∴．

∴．同理．

∴．

∴經過，，，四點的球的球心為點．                   

∵．                 

∴．

故經過，，，四點的球的表面積為．                 

19．（本小題主要考查橢圓、圓的方程和圓與圓的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想，以及運算求解能力）

解：（1）∵橢圓的離心率為，且經過點，

∴                                                

即解得

∴橢圓的方程為．                                   

（2）∵，，∴．

∴橢圓的左焦點坐標為.                                  

以橢圓的長軸為直徑的圓的方程為，圓心坐標是，半徑為2.

以為直徑的圓的方程為，圓心坐標是，半徑為.

∵兩圓心之間的距離為，

故以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓內切.                  

20．（本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前項求和公式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）

解：設等比數列的首項為，公比為，           

若，，成等差數列，

則．                                             

∴．

∵，，∴．

解得或．                                          

當時，∵，，，         

∴．

∴當時，，，不成等差數列．                      

當時，，，成等差數列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                          ，

∴．

∴當時，，，成等差數列．                     

證法2：∵，

又

， 

∴．

∴當時，，，成等差數列．                

21．（本小題主要考查函數的性質、函數與導數等知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域為，         

∴．                                            

∵是函數的極值點，

∴，即，                                          

∵，∴．

經檢驗，當時，=1是函數的極值點，

∴．        ?                                           

解法2：∵，其定義域為，               

∴．                                            

令，即，整理得，．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，

當變化時，，的變化情況如下表：