題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。
已知函數
的反函數。定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”。
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由； 
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”。求的表達式。
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分7分．
已知雙曲線
．
（1）求雙曲線
的漸近線方程；
（2）已知點
的坐標為
．設
是雙曲線上的點，
是點關于原點的對稱點．
記
．求
的取值范圍；
（3）已知點
的坐標分別為
，為雙曲線上在第一象限內的點．記
為經過原點與點的直線，
為
截直線所得線段的長．試將表示為直線的斜率
的函數．
（本題滿分16分）本題共有3個小題
，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分6分．
設
，常數
，定義運算“
”：
，定義運算“
”：
；對于兩點
、
，定義
.
(1)若
，求動點
的軌跡
；
(2)已知直線
與(1)中軌跡交于、兩點，若
，試求
的值；
(3)在(2)中條件下，若直線
不過原點且與
軸交于點S，與
軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求
的取值范圍．
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知函數
的反函數.定義：若對給定的實數
，函數
與
互為反函數，則稱滿足“
和性質”；若函數
與
互為反函數，則稱滿足“積性質”.
（1） 判斷函數
是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2） 求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3） 設函數
對任何
，滿足“積性質”.求的表達式.
（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分。
已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F
，一條漸近線m:
，設過點A
的直線l的方向向量
。
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點的直線
，且a與l的距離為
，求K的值；
（3）證明：當
時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為。
一、填空題：
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．2009 9．4個 10．①② 11．
二、選擇題：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答題：
16．解：(Ⅰ)因為
點的坐標為
，根據三角函數定義可知
，
，
， 2分
所以
4分
(Ⅱ)因為三角形
為正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
7分
所以
。
11分
17．方法一：（I）證明：連結OC，因為
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
5分
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角， 7分
在
中，
因為
是直角斜邊AC上的中線，所以
所以
所以異面直線AB與CD所成角的大小為
。
12分
18．解：（Ⅰ）由年銷售量為
件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤
分別為：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因為
所以
為增函數，
，所以
時，生產A產品有最大利潤為
（萬美元）
又
，所以
時，生產B產品
有最大利潤為460（萬美元） 8分
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
10分
所以：當
時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
當
時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
當
時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分
19．解：（1）當
時，
，
成立，所以
是偶函數；
3分
當
時，
，這時
所以是非奇非偶函數；
6分
（2）當
時，
設
且
,則
9分
當時，因為且，所以
所以
，
，所以是區間
的單調遞減函數。 14分
20．解：（Ⅰ）由拋物線
：
知
，設
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知橢圓的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合題意，舍去）．
故橢圓的方程為
。
7分
（另法：因為在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以點O到直線
的距離為
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面視提出問題的質量而定：
如問題一：當
面積為
時，求直線的方程。（
） 得2分
問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由題意知數列
的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,
6分
從而
=
8分
=
10分
（3）證明：①若
,則題意成立，
12分
②若
,此時數列的前若干項滿足
,即
，
設
,則當
時,
，
從而此時命題成立； 14分
③若
,由題意得
,則由②的結論知此時命題也成立，
綜上所述,原命題成立。 16分
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