題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）
對于定義域分別為
的函數
，規定：
函數
若函數
,求函數
的取值集合；
若
，設
為曲線
在點
處切線的斜率；而
是等差數列，公差為1
，點
為直線
與
軸的交點，點
的坐標為
。求證：
；
若
，其中
是常數，且
，請問，是否存在一個定義域為
的函數
及一個的值，使得
，若存在請寫出一個
的解析式及一個的值，若不存在請說明理由。
（本題滿分15分）設M是由滿足下列條件的函數
構成的集合：“①方程
有實數根；②函數的導數
滿足
”
（I）證明：函數
是集合M中的元素；
（II）證明：函數具有下面的性質：對于任意
，都存在
，使得等式
成立。
（III）若集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]
，都存在，使得等式成立。試用這一性質證明：對集合M中的任一元素，方程只有一個實數根。
構成的集合：“①方程
有實數根；②函數的導數
滿足
”
是集合M中的元素；具有下面的性質：對于任意
，都存在
，使得等式
成立。 具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]
，都存在，使得等式成立。試用這一性質證明：對集合M中的任一元素，方程只有一個實數根。
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一、填空題：
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
8．2009 9．4個 10．①② 11．
二、選擇題：
12．B 13．C 14．D 15．D
三、解答題：
16．解：(Ⅰ)因為
點的坐標為
，根據三角函數定義可知
，
，
， 2分
所以
4分
(Ⅱ)因為三角形
為正三角形，所以
，
，
，
5分
所以
7分
所以
。
11分
17．方法一：（I）證明：連結OC，因為
所以
又
所以
，
2分
在
中，由已知可得
而
所以
所以
即
，
而
所以
平面
。
5分
（II）解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角， 7分
在
中，
因為
是直角斜邊AC上的中線，所以
所以
所以異面直線AB與CD所成角的大小為
。
12分
18．解：（Ⅰ）由年銷售量為
件，按利潤的計算公式，有生產A、B兩產品的年利潤
分別為：
且
2分
所以
5分
（Ⅱ）因為
所以
為增函數，
，所以
時，生產A產品有最大利潤為
（萬美元）
又
，所以
時，生產B產品
有最大利潤為460（萬美元） 8分
現在我們研究生產哪種產品年利潤最大，為此，我們作差比較：
10分
所以：當
時，投資生產A產品200件可獲得最大年利潤;
當
時，生產A產品與生產B產品均可獲得最大年利潤；
當
時，投資生產B產品100件可獲得最大年利潤。12分
19．解：（1）當
時，
，
成立，所以
是偶函數；
3分
當
時，
，這時
所以是非奇非偶函數；
6分
（2）當
時，
設
且
,則
9分
當時，因為且，所以
所以
，
，所以是區間
的單調遞減函數。 14分
20．解：（Ⅰ）由拋物線
：
知
，設
，
在上，且
，所以
，得
，代入，得
，
所以
。
4分
在
上，由已知橢圓的半焦距
，于是
消去
并整理得 
， 解得
（
不合題意，舍去）．
故橢圓的方程為
。
7分
（另法：因為在上，
所以
，所以，以下略。）
（Ⅱ）由
得
，所以點O到直線
的距離為
，又
，
所以
，
且
。
10分
下面視提出問題的質量而定：
如問題一：當
面積為
時，求直線的方程。（
） 得2分
問題二：當面積取最大值時，求直線的方程。（
） 得4分
21．解：(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）
由題意知數列
的前34項成首項為100,公差為－3的等差數列,從第35項開始,奇數項均為3,偶數項均為1,
6分
從而
=
8分
=
10分
（3）證明：①若
,則題意成立，
12分
②若
,此時數列的前若干項滿足
,即
，
設
,則當
時,
，
從而此時命題成立； 14分
③若
,由題意得
,則由②的結論知此時命題也成立，
綜上所述,原命題成立。 16分
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(n∈N*)。
對一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并證明，否則說明理由。