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已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC與BD相交于點O．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一點，且CM⊥PB，求

|PM|

|MB|

的值．

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在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=120°，AB=1，側棱PA與底面所成角為45°，設AC與BD交于點O，M為PA 的中點，OM⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）設E是PB的中點，求三棱錐E-PAD的體積；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦．

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（14分）如圖，ABCD為直角梯形，∠C=∠CDA=，AD=2BC=2CD，P為平面ABCD外一點，且PB⊥BD．

    ⑴ 求證：PA⊥BD；

    (2) 若與CD不垂直，求證:；

    ⑶ 若直線l過點P,且直線l∥直線BC，試在直線l上找一點E，

使得直線PC∥平面EBD.

      

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在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=120°，AB=1，側棱PA與底面所成角為45°，設AC與BD交于點O，M為PA 的中點，OM⊥平面ABCD．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）設E是PB的中點，求三棱錐E-PAD的體積；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦．

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已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC與BD的交點，求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若點M是PD的中點，求異面直線AD與CM所成角的余弦值．

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一、填空題

1. 二      2. 6      3.     4. 22     5. {2,3,4}    6. 5049    7. 

8. 2    9.     10. 5       11.       12.        13. 4     14.

二．解答題

15. 解：設四發子彈編號為0（空彈），1，2，3，

             （1）設第一槍出現“啞彈”的事件為A，有4個基本事件,則：（2分）

                 （4分）

(2)      法一:前三槍出現“啞彈”的事件為B,則第四槍出現“啞彈”的事件為,

         那么，（6分）

     （9分）

法二:前三槍共有4個基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},滿足條件的有三個,（7分）

     則（9分）

        (3) 的面積為6，（10分）

           分別以為圓心、1為半徑的三個扇形的面積和,（12分）

                    設第四個彈孔與前三個彈孔的距離都超過1的事件為C,

                        .（14分）

16.       （1）ABCD為直角梯形，AD =，AB⊥BD，（1分）

           PB⊥BD ，AB PB =B，AB，PB平面PAB，BD⊥平面PAB，（ 4分）

           PA面PAB，PA ⊥BD.（5分）                                

（2）假設PA=PD,取AD 中點N,連PN,BN,則PN⊥AD，BN⊥AD, （7分）

        AD⊥平面PNB,得 PB⊥AD，（8分）

        又PB⊥BD ，得PB⊥平面ABCD,

∴（9分）

        又∵，∴CD⊥平面PBC,

        ∴CD⊥PC, 與已知條件與

不垂直矛盾

        ∴（10分）

  （3）在上l取一點E，使PE=BC，（11分）

     PE∥BC，四邊形BCPE是平行四邊形，（12分）

          PC∥BE，PC平面EBD， BE平面EBD

                PC∥平面EBD.（14分）

17. 解：⑴∵橢圓C的短軸長為2，橢圓C的一條準線為l：，

       ∴不妨設橢圓C的方程為．（2分）

        ∴，（ 4分）      即．（5分）

        ∴橢圓C的方程為．（6分）

    ⑵ F（1，0），右準線為l：， 設，

     則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分）

     ∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分）

    ∴直線OM的方程為：，點M的坐標為．（11分）

    ∴直線MN的斜率為．（12分）

    ∵MN⊥ON，∴，

    ∴，

    ∴，即．（13分）

    ∴為定值．（14分）

18. 解：（1）設，則．（2分）

在Rt△MB中，， （4分）

∴． （5分）

    ∵點M在線段AB上，M點和B點不重合，點和B點不重合，

    ∴．（7分）

（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）

,（9分）

＝．（10分）

令＝

＝．（13分）

∵，      ∴． （14分）

  當且僅當，時，有最大值，（15分）

∴時，有最小值．（16分）

19.（1）如果為偶函數，則

       恒成立，（1分）

      即： （2分）

       由不恒成立，得（3分）

       如果為奇函數，則

         恒成立，（4分）

       即：（5分）

             由恒成立，得（6分）

（2），

  ∴ 當時,顯然在R上為增函數；（8分）

     當時，，

            由得得

                得.（9分）

                 ∴當時, ,為減函數; （10分）

              當時, ,為增函數. （11分）

(3) 當時，

      如果，（13分）

           則 

       ∴函數有對稱中心（14分）

      如果（15分）

         則

       ∴函數有對稱軸.（16分）

20. 解：（1）n＝1時，2a₁＝a₁a₂＋r，∵a₁＝c≠0，∴2c＝ca₂＋r，．  （1分）

n≥2時，2S_n＝a_na_n＋1＋r，①    2S_n－1＝a_n－1a_n＋r，②

①－②，得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)．∵a_n≠0，∴a_n＋1－a_n－1＝2．        （ 3分）

       則a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，… 成公差為2的等差數列，a_2n－1＝a₁＋2(n－1)．

a₂，a₄，a₆，…，a_2n，… 成公差為2的等差數列， a_2n＝a₂＋2(n－1)．

要使{a_n}為等差數列，當且僅當a₂－a₁＝1．即．r＝c－c²．  （ 4分）

       ∵r＝－6，∴c²－c－6＝0，c＝－2或3．

∵當c＝－2，，不合題意，舍去.

∴當且僅當時，數列為等差數列       （5分）

（2）＝[a₁＋2(n－1)]－[a₂＋2(n－1)]＝a₁－a₂＝－2．

＝[a₂＋2(n－1)]－（a₁＋2n）＝a₂－a₁－2＝－()． （8分）

∴        （9分）

．  （10分）

＝．（11分）

∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．

∴0＜＜1． （13分）

且＞－1．  （14分）

又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．

∴＜1．．∴＜1．（15分）

∴對于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）

數學加試題參考答案及評分標準

21．A．選修4―1　幾何證明選講

　　 證明:作于為直徑,

（2分）

四點共圓,四點共圓. （6分）

     （8分）

   (1)+(2)得（9分）

   即（10分）

21．B．選修4―2　矩陣與變換

解：（1）由=，（2分）   ∴.     （3分）

（2）由（1）知，則矩陣的特征多項式為

 （5分）

令，得矩陣