題目列表(包括答案和解析)
(1)(本小題滿分7分) 選修4一2:矩陣與變換
若點A（2，2）在矩陣
對應變換的作用下得到的點為B（－2，2），求矩陣M的逆矩陣．
(2)(本小題滿分7分) 選修4一4:坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：
與曲線C2：
（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
(3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講
求證:
,
.
(1)(本小題滿分7分) 選修4一2:矩陣與變換
若點A（2，2）在矩陣
對應變換的作用下得到的點為B（－2，2），求矩陣M的逆矩陣．
(2)(本小題滿分7分) 選修4一4:坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：與曲線C2：
（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
(3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講
求證:
,
.
對應變換的作用下得到的點為B（－2，2），求矩陣M的逆矩陣．
與曲線C2：
（t∈R）交于A、B兩點．求證：OA⊥OB．
,
.
A．選修4－1（幾何證明選講）
如圖，
是邊長為
的正方形，以
為圓心，
為半徑的圓弧與以
為直徑的
交于點
，延長
交
于
．（1）求證：是的中點；（2）求線段
的長．
B．選修4－2（矩陣與變換）
已知矩陣
，若矩陣
屬于特征值3的一個特征向量為
，屬于特征值－1的一個特征向量為
，求矩陣．
C．選修4－4（坐標系與參數方程）
在極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
，以極點為原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線
的參數方程為
（
為參數），求直線被曲線所截得的弦長.
D．選修4—5（不等式選講）
已知實數
滿足
，求
的最小值；
本題有(1)．(2)．(3)三個選做題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．
（1）(本小題滿分7分)選修4－2：矩陣與變換選做題
已知矩陣A=
有一個屬于特征值1的特征向量
.
(Ⅰ) 求矩陣A；
(Ⅱ) 矩陣B=
，點O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求
在矩陣AB的對應變換作用下所得到的
的面積.
（2）(本小題滿分7分)選修4－4：坐標系與參數方程選做題
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線
的參數方程為
，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程；（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數，并說明理由．
（3）(本小題滿分7分)選修4－5：不等式選講選做題
已知函數
，不等式
在
上恒成立．
（Ⅰ）求
的取值范圍；
（Ⅱ）記的最大值為
，若正實數
滿足
，求
的最大值．
一、填空題
1、
2、40 3、② ④） 4、-1 5、
6、3
7、
8、
9、1 10、
11、
12、46 13、
14、（3）（4）
二、解答題
15、解：（1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，
故a?b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……………………………………2分
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4 ＝0．解之，得tanα＝－
，或tanα＝
．……………………………………………6分
∵α∈（
），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分
（2）∵α∈（），∴
．
由tanα＝－，求得
，
＝2（舍去）．
∴
，…………………………………………………………12分
cos(
)＝
＝
＝
． ………………………14分
16、證明：（1）連結
，在
中，
、
分別為
，
的中點，則
（2）
（3）
且 
，
∴
即
=
=
17、解：由已知圓的方程為
，
按
平移得到
.
∵
∴
.
即
.
又
，且，∴
.∴
.
設
， 
的中點為D.
由
，則
，又
.
∴
到
的距離等于
.
即
， ∴
.
∴直線
的方程為：
或
.
18、（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x?AE?cos60°y2＝x2＋AE2－x?AE,①
又S△ADE＝
S△ABC＝
a2＝x?AE?sin60°x?AE＝2.②
②代入①得y2＝x2＋
－2（y＞0）, ∴y＝
（1≤x≤2）。。。.6分
（2）如果DE是水管y＝≥
,
當且僅當x2＝
，即x＝
時“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.
如果DE是參觀線路，記f（x）＝x2＋，可知
函數在[1，]上遞減，在[，2]上遞增，
故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝
.
即DE為AB中線或AC中線時，DE最長.。。。。。。。。。。。8分
19、解：（1）由
是首項為
，公比為
的等比數列
當
時，
，
所以 
（2）由
得：
(作差證明)
綜上所述當
時，不等式
對任意
都成立.
20．解．（1）
當
時，
，此時
為單調遞減
當
時，
，此時為單調遞增
的極小值為
（2）的極小值，即在
的最小值為1
令
又
當
時
在上單調遞減
當
時，
（3）假設存在實數
，使
有最小值3，
①當
時，由于，則
函數是上的增函數
解得
（舍去）
②當
時，則當
時，
此時是減函數
當
時，
，此時是增函數
解得
理科加試題
1、（1）“油罐被引爆”的事件為事件A，其對立事件為
，則P()=C
∴P(A)=1-
答：油罐被引爆的概率為
（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5，
P(ξ=2)=
， P(ξ=3)=C
，
P(ξ=4)=C
， P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
P
故ξ的分布列為：
Eξ=2×+3×+4×+5×=
2、解：（1）由圖形可知二次函數的圖象過點（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值為16
則
，
∴函數f（x）的解析式為
（2）由
得
∵0≤t≤2，∴直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為（
由定積分的幾何意義知：
3、解：在矩陣N=
的作用下，一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉
得到的圖形，在矩陣M=
的作用下，一個圖形變換為與之關于直線
對稱的圖形。因此
△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1
4、解：以極點為原點，極軸為
軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．
（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
為
的直角坐標方程．
同理
為
的直角坐標方程．
（2）由
解得
．
即，交于點
和
．過交點的直線的直角坐標方程為
．
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