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現有問題：“對任意x＞0，不等式x-a+＞0恒成立，求實數a的取值范圍．”有兩位同學用數形結合的方法分別提出了自己的解題思路和答案：
學生甲：在一個坐標系內作出函數和g（x）=-x+a的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范圍是[0，+∞]
學生乙：在坐標平面內作出函數的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在直線y=2a的上方．可解得a的取值范圍是[0，1]．
則以下對上述兩位同學的解題方法和結論的判斷都正確的是（ ）
A．甲同學方法正確，結論錯誤
B．乙同學方法正確，結論錯誤
C．甲同學方法正確，結論正確
D．乙同學方法錯誤，結論正確

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1.B   提示：在同一坐標系中畫出兩函數y = a ^|x|與y = |log _a x|圖象，如圖

2.D提示： 如圖|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。

3.B提示： A=[0,4],B=[－4，0]，

4.D

5.B    提示：如圖

6.C  提示：而|z|表示

7.A  提示：T=2×8=16，則，令。

8.A  提示：在同一坐標系中作出函數的圖象，易得。

9.A  提示：在同一坐標系中畫出函數y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的圖象，由圖可知，f（x）的最高點為。

10.D  提示：由可行域易知z=5x+y過點（1，0）時取得最大值5.

11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草圖如圖：

由圖可知，B正確。

12.C提示：設橢圓另一焦點為F₂，（如圖），，又注意到N、O各為MF₁、F₁F₂的中點， ∴ON是△MF₁F₂的中位線， 

13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f (x) = x ² + bx + c為二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).

14.1 < m < 5提示：設y ₁ = x ² ? 4|x| + 5，y ₂ = m，畫出兩函數圖象示意圖，要使方程x ² ? 4|x| + 5 = m有四個不相等實根，只需使1 < m < 5.

15.

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即.

16、

，

九、實戰演習

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 方程的實根的個數為（    ）

    A. 1個      B. 2個      C. 3個      D. 4個

    2. 函數的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（    ）

    A.                    B.

    C.            D.

   3. 若不等式的解集為則a的值為（     ）

    A. 1            B. 2            C. 3            D. 4

   4. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（    ）

A. （0，1）     B. （1，2）     C. （1，2]      D. [1，2]

   5  已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數a、b、α、β的大小關系為(    )

A  α＜a＜b＜β            B  α＜a＜β＜b

C  a＜α＜b＜β            D  a＜α＜β＜b

6.已知x＋y＋1=0,則的最小值是(    )

A.   B.     C.   D..

7.如圖,是周期為的三角函數y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫成(    )

A.sin(1＋x)     B.sin(－1－x)     C.sin(x－1)     D.sin(1－x)

8.方程x＋log₃x=2,x＋log₂x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關系是(    )

A.α>β     B.α<β    C.α=β    D.不確定.

9.

10. 在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是(    )

A.         B.    C.         D.

11. 若不等式在(0,)內恒成立,則a的取值范圍(   )

A.[ ,1)     B.( ,1)       C.(0, )     D.(0, ]

12.已知,關于x的方程有兩個不同的實數解,則實數a的取值范圍是(    )

A.[－2,2]     B.[,2]     C.( ,2]      D.( ,2)

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案直接填在題中橫線上.

13.曲線y=1+ (?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個交點時，實數r的取值范圍___________.

14 . 若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為___________。

15.  函數的最小值為___________。  

16. 對于每個實數x,設f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_________.

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

    17. （12分）若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。

    18.（12分）設，試求方程有解時k的取值范圍。

19 （12分）已知圓C:（x＋2）²＋y²=1,點P（x,y）為圓C上任一點.

⑴求的最值.       ⑵求x－2y的最值.

20. （12分）設A={(x,y)｜y=,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)²+(y?)²=a²,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值 

21. （12分）設f(x)=,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)－f(b)|<|a－b|.

22  （12分）已知A（1，1）為橢圓=1內一點，F₁為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點       求｜PF₁｜+｜PA｜的最大值和最小值 

參考答案:

一、選擇題

    1. C   解析：畫出在同一坐標系中的圖象，即可。

  2. D   解析：畫出的圖象

    情形1：              情形2：

3. B  解析：畫出的圖象，依題意，從而。

  4. C  解析：令，畫出兩函數圖象.

        a>1                              

若a>1，當時，要使，只需使,∴；

若，顯然當時，不等式恒不成立。

5  A  解析  a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數f(x)、g(x)的圖象如圖所示 

6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直線,而式子表示點(1,1)到直線上點的距離,因此式子的最小值就是點(1,1)到直線x＋y＋1=0的距離,由點到直線的距離公式可求.

7. D  解析:由周期為得,ω=1,令1×1＋φ=得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).

8. A 解析:由題意有, log₃x=2－x, log₂x=2－x,在同一坐標系中作出y=log₃x,y=log₂x,y=2－x的圖像,

易見α>β.

9. D  解析:k=tan60°=.

        (9題圖)                             (10題圖)

10. 解析:畫出可行域如圖

∵,∴在圖中A點和B點處,目標函數z分別取得最大值的最小和最大.

∴z_max∈[7,8].故選D.

11. 解析:不等式變形為,令y₁=x²,y₂=log_ax,如圖

函數y₂過點A()時,a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a＜1.

       (11題圖)                       (12題圖)

12.D. 解析:在坐標系中畫出y=的圖象.

二、填空題

13. （］  解析  方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x?2)+4為過（2，4）的直線.     14.   解析:設，

畫出兩函數圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使.

 15. 解析：對，它表示點（x，1）到（1，0）的距離;表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得。

16. 解析:在同一坐標系中畫出三個函數的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點為A(),

所以, f(x)的最大值為.

三、解答題

  17. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解,即是兩函數圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。

由于不等式解集, 因此，只需要

    ∴a的取值范圍為（2，+）。

      (17題圖)                              (18題圖)

18. 解：將原方程化為：，

    ∴

    令，它表示傾角為45°的直線系，；

    令，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，

原方程有解，則兩個函數的圖象有交點，由圖知,

∴.   ∴k的取值范圍為

19 解：

   （1）                                   (2)

（1）設Q（1，2）,則的最值分別為過Q點的圓C的兩條切線的斜率.如圖

設PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0

∴,∴k=或k=.

∴的最大值為,最小值為.

(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,為一組平行直線系,則x－2y=b的最值就是直線與圓相切時.如圖

由得,b=－2＋,或b=－2－.

∴x－2y的最大值為－2＋,最小值為－2－.

20.解  ∵集合A中的元素構成的圖形是以原點O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心，a為半徑的圓  如圖所示 

∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點 

∴當半圓O和圓O′外切時，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴a_min=2?2

當半圓O與圓O′內切時， a最大 ∴a?a=｜OO′｜=2,∴a_max=2+2 

21.解:由y=得,y²－x²=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.

在曲線上任取兩點A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質得|k|<1.

∴,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.

      (21題圖)                             (22題圖)

22  解  由可知a=3,b=,c=2，左焦點F₁(?2,0),右焦點F₂(2,0) 

如圖  由橢圓定義，｜PF₁｜=2a?｜PF₂｜=6?｜PF₂｜,

∴｜PF₁｜+｜PA｜=6?｜PF₂｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF₂｜

由｜｜PA｜?｜PF₂｜｜≤｜AF₂｜=知

?≤｜PA｜?｜PF₂｜≤  (當P在AF₂延長線上的P₂處時，取右“=”號；

當P在AF₂的反向延長線的P₁處時，取左“=”號 )

即｜PA｜?｜PF₂｜的最大、最小值分別為，? 

于是｜PF₁｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?