題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分16分）設二次函數
在區間
上的最大值、最小值分別是
，集合
．
（1）若
，且
，求
和
的值；
（2）若
，且
，記
，求
的最小值．
（本題滿分16分）設二次函數
在區間
上的最大值、最小值分別是M、m，集合
．
（1）若
，且
，求M和m的值；
（2）若
，且
，記
，求
的最小值．
（本題滿分16分）
設二次函數
在區間
上的最大值、最小值分別是M、m，集合
．
（1）若
，且
，求M和m的值；
（2）若
，且
，記
，求
的最小值．
（本題滿分16分）設二次函數
在區間
上的最大值、最小值分別是M、m，集合
．
（1）若
，且
，求M和m的值；
（2）若
，且
，記
，求
的最小值．
①二次函數的極值點是唯一的，所以二次函數的極值點即最值點 ②f(x)=
在(-∞,+∞)內是單調函數，所以f(x)在任何區間上都有最值 ③在區間［a,b］上，函數f(x)的極小值就是最小值 ④在閉區間［a,b］上，連續函數f(x)必有最大值與最小值
A.0 B.1 C.2 D.3
1.B 提示：在同一坐標系中畫出兩函數y = a |x|與y = |log a x|圖象，如圖
2.D提示： 如圖|OM| = 2，|AM| = ，|OA| = 1，∴k = tan∠AOM = 。
3.B提示：
A=[0,4],B=[－4，0]，
4.D
5.B 提示：如圖
6.C 提示：
而|z|表示
7.A 提示：T=2×8=16，則
，令
。
8.A 提示：在同一坐標系中作出函數
的圖象，易得。
9.A 提示：在同一坐標系中畫出函數y=4x＋1，y=x＋2和y=－2x＋4的圖象，由圖可知，f（x）的最高點為
。
10.D 提示：由可行域易知z=5x+y過點（1，0）時取得最大值5.
11.B 提示： f（x）= f（－x）= f（2－x），故f（x）的草圖如圖：
由圖可知，B正確。
12.C提示：設橢圓另一焦點為F2，（如圖），
，又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，
∴ON是△MF1F2的中位線， 
13.f (1) < f (4) < f (- 3)提示：由f (2 + t) = f (2 ? t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f (x) = x 2 + bx + c為二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f (1) < f (4) < f (- 3).
14.1 < m < 5提示：設y 1 = x 2 ? 4|x| + 5，y 2 = m，畫出兩函數圖象示意圖，要使方程x 2 ? 4|x| + 5 = m有四個不相等實根，只需使1 < m < 5.
15.
提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而
則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距
，即.
16、
，
九、實戰演習
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 方程
的實根的個數為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 函數
的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 若不等式
的解集為
則a的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若
時，不等式
恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
5
已知f(x)=(x?a)(x?b)?2（其中a＜b
，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實數a、b、α、β的大小關系為( )
A α＜a＜b＜β
B α＜a＜β＜b
C a＜α＜b＜β
D a＜α＜β＜b
6.已知x＋y＋1=0,則
的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
.
7.如圖,是周期為
的三角函數y=f(x)的圖像,那么f(x)可以寫成( )
A.sin(1＋x) B.sin(－1－x) C.sin(x－1) D.sin(1－x)
8.方程x＋log3x=2,x＋log2x=2的根分別是α、β,那么α與β的大小關系是( )
A.α>β B.α<β C.α=β D.不確定.
9.
10. 在約束條件
下，當
時，目標函數
的最大值的變化范圍是( )
A. 
B.
C. 
D.
11. 若不等式
在(0,
)內恒成立,則a的取值范圍( )
A.[ 
,1)
B.( ,1) C.(0, )
D.(0, ]
12.已知
,關于x的方程
有兩個不同的實數解,則實數a的取值范圍是( )
A.[－2,2] B.[
,2]
C.( ,2] D.( ,2)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，請把答案直接填在題中橫線上.
13.曲線y=1+
(?2≤x≤2)與直線y=r(x?2)+4有兩個交點時，實數r的取值范圍___________.
14
. 若關于x的方程
有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為___________。
15. 函數
的最小值為___________。
16. 對于每個實數x,設f(x)是4x＋1,x＋2和－2x＋4三者中的最小者,則f(x)的最大值為_________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17. （12分）若不等式
的解集為A，且
，求a的取值范圍。
18.（12分）設
，試求
方程有解時k的取值范圍。
19
（12分）已知圓C:（x＋2）2＋y2=1,點P（x,y）為圓C上任一點.
⑴求
的最值. ⑵求x－2y的最值.
20. （12分）設A={(x,y)｜y=
,a＞0}，B={(x,y)｜(x?1)2+(y?)2=a2,a＞0},且A∩B≠
，求a的最大值與最小值
21. （12分）設f(x)=
,a,b∈R,且a≠b.求證:|f(a)－f(b)|<|a－b|.
22 （12分）已知A（1，1）為橢圓
=1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點 求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值
參考答案:
一、選擇題
1. C 解析：畫出
在同一坐標系中的圖象，即可。
2. D 解析：畫出的圖象
情形1：
情形2：
3. B 解析：畫出
的圖象，依題意，
從而
。
4. C 解析：令
，畫出兩函數圖象.
a>1
若a>1，當時，要使
，只需使
,∴
；
若，顯然當時，不等式恒不成立。
5 A
解析
a,b是方程g(x)=(x?a)(x?b)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數f(x)、g(x)的圖象如圖所示
6. B 解析:方程x＋y＋1=0表示直線,而式子表示點(1,1)到直線上點的距離,因此式子的最小值就是點(1,1)到直線x＋y＋1=0的距離,由點到直線的距離公式可求.
7. D 解析:由周期為得,ω=1,令1×1＋φ=
得, φ=－1.所以y=sin(x＋－1)=－sin(x－1)=sin(1－x).
8. A 解析:由題意有, log3x=2－x, log2x=2－x,在同一坐標系中作出y=log3x,y=log2x,y=2－x的圖像,
易見α>β.
9. D 解析:k=tan60°=.
(9題圖) (10題圖)
10. 解析:畫出可行域如圖
∵,∴在圖中A點和B點處,目標函數z分別取得最大值的最小和最大.
∴zmax∈[7,8].故選D.
11. 解析:不等式變形為
,令y1=x2,y2=logax,如圖
函數y2過點A(
)時,a=,為滿足條件的a邊界,故a的范圍是≤a＜1.
(11題圖) (12題圖)
12.D. 解析:在坐標系中畫出y=
的圖象.
二、填空題
13. （
］ 解析 方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x?2)+4為過（2，4）的直線. 14. 
解析:設
，
畫出兩函數圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使
.
15. 解析：對
，它表示點（x，1）到（1，0）的距離;
表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得
。
16. 解析:在同一坐標系中畫出三個函數的圖像,如圖, 由圖知, f(x)的最高點為A(
),
所以, f(x)的最大值為
.
三、解答題
17. 解：令
表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，
表示過原點的直線系，不等式的解,即是兩函數圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。
由于不等式解集, 因此，只需要
∴a的取值范圍為（2，+
）。
(17題圖) (18題圖)
18. 解：將原方程化為：
，
∴
令
，它表示傾角為45°的直線系，
；
令
，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，
原方程有解，則兩個函數的圖象有交點，由圖知
,
∴
. ∴k的取值范圍為
19
解：
（1） (2)
（1）設Q（1，2）,則的最值分別為過Q點的圓C的兩條切線的斜率.如圖
設PQ:y－2=k(x－1),即kx－y＋2－k=0
∴
,∴k=
或k=
.
∴的最大值為,最小值為.
(2)令x－2y=b,即x－2y―b=0,為一組平行直線系,則x－2y=b的最值就是直線與圓相切時.如圖
由
得,b=－2＋
,或b=－2－.
∴x－2y的最大值為－2＋,最小值為－2－.
20.解 ∵集合A中的元素構成的圖形是以原點O為圓心，
a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O′(1,)為圓心，a為半徑的圓 如圖所示
∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點
∴當半圓O和圓O′外切時，a最小.∴a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2?2
當半圓O與圓O′內切時， a最大
∴a?a=｜OO′｜=2,∴amax=2+2
21.解:由y=得,y2－x2=1(y>x),表示的曲線為雙曲線的上支,且此雙曲線的漸近線為y=±x.
在曲線上任取兩點A(a,f(a)),A(b,f(b)),其斜率為k,由雙曲線性質得|k|<1.
∴
,∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
(21題圖) (22題圖)
22 解 由
可知a=3,b=,c=2，左焦點F1(?2,0),右焦點F2(2,0)
如圖 由橢圓定義，｜PF1｜=2a?｜PF2｜=6?｜PF2｜,
∴｜PF1｜+｜PA｜=6?｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜?｜PF2｜
由｜｜PA｜?｜PF2｜｜≤｜AF2｜=
知
?≤｜PA｜?｜PF2｜≤ (當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；
當P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號
)
即｜PA｜?｜PF2｜的最大、最小值分別為，?
于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+,最小值是6?
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