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若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的凸函數．
（1）證明：定義在R上的二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數；
（2）設f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時，f（x）≤1恒成立，求實數a的取值范圍，并判斷函數
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數；
（3）定義在整數集Z上的函數f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數f（x）是不是R上的凸函數說明理由．

對于函數f（x），如果存在函數g（x）=ax+b（a，b為常數），使得對于區間D上的任意實數x都有f（x）≤g（x）成立，則稱g（x）為函數f（x）區間D上的一個“覆蓋函數”．設f（x）=-2xlnx-x²，g（x）=-ax+3．若g（x）為函數f（x）在區間（0，+∞）上的一個“覆蓋函數”，則實數a的取值范圍是（　　）

若函數f（x）對任意的實數x₁，x₂∈D，均有|f（x₂）-f（x₁）|≤|x₂-x₁|，則稱函數f（x）是區間D上的“平緩函數”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x²-x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；
（2）若數列{x_n}對所有的正整數n都有 |xn+1-xn|≤

1

(2n+1)2

，設y_n=sinx_n，求證：|yn+1-y1|＜

1

4

．