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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，且D是BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說明理由。

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如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形。

（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

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一、選擇題（每小題5分，共40分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

A

C

D

C

A

B

D

二、填空題（每小題5分，共30分）

9.84； 10.；  11.45；  12. -6；  13.；  14.；  15.3

三、解答題（共80分．解答題應(yīng)寫出推理、演算步驟）

16. 解：（1） 

則的最小正周期，      ……………………………4分

且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．

即為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不

扣分）．…………6分

（2）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)．

所以．      ……………9分

為的對(duì)稱軸．      ……12分

17. 解：（1）依題意，的可能取值為1，0，-1      ………1分

的分布列為            …4分

1

0

p

==…………6分

（2）設(shè)表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則的分布列為……8分

2

…………10分

依題意要求…  11分

∴………12分   

注：只寫出扣1分

18. 解：（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為   滿足題意   ………1分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即     

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直線方程為                               

綜上所述，所求直線為或   …………7分                  

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)坐標(biāo)為

則點(diǎn)坐標(biāo)是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

 ∴點(diǎn)的軌跡方程是，               …………13分     

軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn)。    …………14分     

_{19.解一：（1）證明：連結(jié)AD1，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：}

_{AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在}

_{平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，} 

_∴AD1⊥A1D   

_{∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）        4分}

_{（2）設(shè)AB=x，∵四邊形ADD1A是正方形，}

_{∴小螞蟻從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體的表面爬到}

_{點(diǎn)C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為}

_{如圖乙的最短路程為}

_{………………9分}

_{（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，}

_{設(shè)平面D1EC的法向量，則}     

…………………12分

_{由題意得：}

_{解得：（舍去）}

………14分

20. 解：（1）當(dāng).…（1分）

           ……（3分）

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為：，.

……（4分）

（2）切線的斜率為，

∴ 切線方程為.……（6分）

            所求封閉圖形面積為

.  

……（8分）

（3），     ……（9分）

            令.                         ……（10分）

列表如下：

x

(－∞，0)

0

（0，2－a）

2－a

(2－a，+ ∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

由表可知，.           ……（12分）

設(shè)，

∴上是增函數(shù)，……（13分）

            ∴ ，即，

∴不存在實(shí)數(shù)a，使極大值為3.            ……（14）

_{21.解：（1）由}   而

  解得A=1……………………………………2分

（2）令  

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2,當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

綜合之：a_n=2n…………………………………………6分

由題意

∴數(shù)列{c_n+1}是為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列。

………………………9分

（3）當(dāng)

………………………11分

當(dāng)

………13分

綜合之：

………14分