題目列表(包括答案和解析)
橢圓C：
(a＞b＞0)的一個焦點F1(－2，0)，右準線方程x＝8．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若M為右準線上一點，A為橢圓C的左頂點，連結AM交橢圓于點P，求
的取值范圍；
(3)設圓Q：(x－t)2＋y2＝1(t＞4)與橢圓C有且只有一個公共點，過橢圓C上一點B作圓Q的切線BS、BT，切點為S，T，求
·
的最大值．
設橢圓T：
(a＞b＞0)，直線l過橢圓左焦點F1且不與x軸重合，l與橢圓交于P、Q，左準線與x軸交于K，|KF1|＝2．當l與x軸垂直時，|PQ|＝
．
(1)求橢圓T的方程；
(2)直線l繞著F1旋轉，與圓O：x2＋y2＝5交于A，B兩點，若|AB|∈[4，
]，求△F2PQ的面積S的取值范圍(F2為橢圓的右焦點)．
已知橢圓
＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于
(a－c)．
(1)證明：橢圓上的點到F2的最短距離為a－c；
(2)求橢圓的離心率e的取值范圍；
(3)設橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長S的最大值．
已知橢圓
＋
＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1(－c，0)，F2(c，0)，Q是橢圓外的動點，滿足|
|＝2a．點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
·
＝0，||≠0．
(1)設x為點P的橫坐標，證明|
|＝a＋
x；
(2)求點T的軌跡C的方程；
(3)試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S＝b2？若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
已知橢圓
＋
＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1(－c，0)，F2(c，0)，Q是橢圓外的動點，滿足|
|＝2a．點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
·
＝0，||≠0．
(1)設x為點P的橫坐標，證明|
|＝a＋
x；
(2)求點T的軌跡C的方程；
(3)試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S＝b2？若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D
6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C
12．（理）A （文）A 13．1或0 14．
15．10080° 16．
17．解析：（1）
的分布如下
0
1
2
P
（2）由（1）知
．
∴ 
．
18．解析：（1）以
點為坐標原點，
所在直線為x軸，
所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設
，
（a，
（0，＋∞）．
∵ 三棱柱
為正三棱柱，則
，B，
，C的坐標分別為：（b，0，0），
，
，
，，，
，（0，0，a）． ∴ 
，，，
，
，
．
（2）在（1）條件下，不妨設b＝2，則
，
又A，M，N坐標分別為（b，0，a），（
，
，0），（
，，a）．
∴ 
，
． ∴ 
同理 
．
∴ △
與△
均為以
為底邊的等腰三角形，取中點為P，則
，
為二面角
的平面角，而點P坐標為（1，0，
），
∴ 
，
，
． 同理 
，，
．
∴ 
．
∴ ∠NPM＝90°
二面角的大小等于90°．
19．解析：設派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則
y＝滅火勞務津貼＋車輛、器械裝備費＋森林損失費
＝125tx＋100x＋60（500＋100t）
＝
＝
＝
當且僅當
，即x＝27時，y有最小值36450．
故應該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．
20．解析：（1）當A、B、C三點不共線時，由三角形中線性質知
；
當A，B，C三點共線時，由
在線段BC外側，由
或x＝5，因此，當x＝1或x＝5時，有
，
同時也滿足：
．當A、B、C不共線時，
定義域為[1，5]．
（2）（理）∵ 
． ∴ d＝y＋x-1＝
．
令 t＝x-3，由
，
，
兩邊對t求導得：
關于t在[-2，2]上單調增．
∴ 當t＝2時，
＝3，此時x＝1． 當t＝2時，
＝7．此時x＝5．故d的取值范圍為[3，7]．
（文）由且
，
，
∴ 當x＝3時，
．當x＝1或5時，
．
∴ y的取值范圍為[
，3]．
21．解析：（1）令
，令y＝-x，則
在（-1，1）上是奇函數．
（2）設
，則
，而
，
．即 當
時，
．
∴ f（x）在（0，1）上單調遞減．
（3）（理）由于
，
，
，
∴ 
．
22．解析：（理）由
平面
，連AH并延長并BC于M．
則 由H為△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC．
于是 BC⊥平面OAHOH⊥BC．
同理可證：
平面ABC．
又 
，
，
是空間中三個不共面的向量，由向量基本定理知，存在三個實數
，
，
使得
＝a＋b＋c．
由 
且
＝
＝0b
＝c， 同理
．
∴ 
． ①
又 AH⊥OH，
∴ 
＝0
②
聯立①及②，得
③
又由①，得 
，
，
，代入③得：
，
，
，
其中
，于是
．
（文）（1）聯立方程ax＋1＝y與
，消去y得：
（*）
又直線與雙曲線相交于A，B兩點， ∴
．
又依題 OA⊥OB，令A，B兩點坐標分別為（
，
），（
，
），則 
．
且 
，而由方程（*）知：
，
代入上式得
．滿足條件．
（2）假設這樣的點A，B存在，則l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中點
，
在
上，則
，
又 
，
代入上式知 
這與
矛盾．
故這樣的實數a不存在．
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