題目列表(包括答案和解析)
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系下，已知圓O：
和直線
，
（1）求圓O和直線
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．
和直線
，
的直角坐標方程；（2）當
時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.
和
，不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍．| 3 |
| 3 |
．本小題滿分15分）
如圖，已知橢圓E：
，焦點為
、
，雙曲線G：
的頂點是該橢
圓的焦點，設
是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線
、
與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形
的周長等于
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為.
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設直線、的斜率分別為
和
，探求和
的關系；
（3）是否存在常數
，使得
恒成立？
若存在，試求出的值；若不存在， 請說明理由．
1．（理）A�。ㄎ模〣 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D
6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C�。ㄎ模〥 9．D 10．D 11．C
12．（理）A�。ㄎ模〢 13．1或0 14．
15．10080° 16．
17．解析：（1）
的分布如下
0
1
2
P
�。�2）由（1）知
．
∴ 
．
18．解析：（1）以
點為坐標原點，
所在直線為x軸，
所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，設
，
（a，
（0，＋∞）．
∵ 三棱柱
為正三棱柱，則
，B，
，C的坐標分別為：（b，0，0），
，
，
，，，
，（0，0，a）． ∴ 
，，，
，
，
．
�。�2）在（1）條件下，不妨設b＝2，則
，
又A，M，N坐標分別為（b，0，a），（
，
，0），（
，，a）．
∴ 
，
． ∴ 
同理 
．
∴ △
與△
均為以
為底邊的等腰三角形，取中點為P，則
，
為二面角
的平面角，而點P坐標為（1，0，
），
∴ 
，
，
． 同理 
，，
．
∴ 
．
∴ ∠NPM＝90°
二面角的大小等于90°．
19．解析：設派x名消防員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則
y＝滅火勞務津貼＋車輛、器械裝備費＋森林損失費
＝125tx＋100x＋60（500＋100t）
＝
＝
＝
當且僅當
，即x＝27時，y有最小值36450．
故應該派27名消防員前去救火，才能使總損失最少，最少損失為36450元．
20．解析：（1）當A、B、C三點不共線時，由三角形中線性質知
；
當A，B，C三點共線時，由
在線段BC外側，由
或x＝5，因此，當x＝1或x＝5時，有
，
同時也滿足：
．當A、B、C不共線時，
定義域為[1，5]．
�。�2）（理）∵ 
． ∴ d＝y＋x-1＝
．
令 t＝x-3，由
，
，
兩邊對t求導得：
關于t在[-2，2]上單調增．
∴ 當t＝2時，
＝3，此時x＝1． 當t＝2時，
＝7．此時x＝5．故d的取值范圍為[3，7]．
�。ㄎ模┯�且
，
，
∴ 當x＝3時，
．當x＝1或5時，
．
∴ y的取值范圍為[
，3]．
21．解析：（1）令
，令y＝-x，則
在（-1，1）上是奇函數．
（2）設
，則
，而
，
．即 當
時，
．
∴ f（x）在（0，1）上單調遞減．
�。�3）（理）由于
，
，
，
∴ 
．
22．解析：（理）由
平面
，連AH并延長并BC于M．
則 由H為△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC．
于是 BC⊥平面OAHOH⊥BC．
同理可證：
平面ABC．
又 
，
，
是空間中三個不共面的向量，由向量基本定理知，存在三個實數
，
，
使得
＝a＋b＋c．
由 
且
＝
＝0b
＝c， 同理
．
∴ 
． ①
又 AH⊥OH，
∴ 
＝0
②
聯立①及②，得
③
又由①，得 
，
，
，代入③得：
，
，
，
其中
，于是
．
（文）（1）聯立方程ax＋1＝y與
，消去y得：
（*）
又直線與雙曲線相交于A，B兩點， ∴
．
又依題 OA⊥OB，令A，B兩點坐標分別為（
，
），（
，
），則 
．
且 
，而由方程（*）知：
，
代入上式得
．滿足條件．
（2）假設這樣的點A，B存在，則l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中點
，
在
上，則
，
又 
，
代入上式知 
這與
矛盾．
故這樣的實數a不存在．
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