題目列表(包括答案和解析)
（本題15分）如圖，橢圓
長軸端點為
，
為橢圓中心，
為橢圓的右焦點,且
，
．（1）求橢圓的標準方程；（2）記橢圓的上頂點為
，
直線
交橢圓于
兩點，問：是否存在直線，使點恰為
的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.
（本題15分） 已知橢圓
的離心率為
，短軸的一個端點到右焦點的距離為
，直線
交橢圓于不同的兩點
，
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
點為坐標原點）；
（Ⅲ）若坐標原點到直線
的距離為
，求
面積的最大值．
（本題15分）已知橢圓
的離心率為
，短軸的一個端點到右焦點的距離為
，直線
交橢圓于不同的兩點
，
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
點為坐標
原點）；
（Ⅲ）若坐標原點到直線
的距離為
，求
面積的最大值．
（本題15分）設函數
.
(Ⅰ)求函數
的單調區間；
(Ⅱ)當
時,是否存在整數
，使不等式
恒成立？若存在，求整數的值；若不存在，請說明理由。
(Ⅲ)關于
的方程
在
上恰有兩個相異實根,求實數
的取值范圍。
（本題15分）某租賃公司擁有汽車100輛．當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出．若每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．
（１）當每輛車的月租金定為3600元時,能租出多少輛車?（２）當每輛車的月租金定為多少元時, 租賃公司的月收益最大，最大月收益是多少?
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
B
D
A
B
D
B
D
C
D
C
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分
11． 負
12． 
13．
14． 
15． 2 16． 2125
17．
三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18．解：（1）
=
，得：
=
，
即：
，
…………………………………………………………３分
又∵０＜
＜
，
∴=
．
…………………………………………………………５分
（2）直線
方程為：
．
，點
到直線的距離為：
．
∵
∴
， …………………………………………………………9分
∴
， …………………………………………………………11分
又∵０＜＜，
∴sin＞0，cos＜0； …………………………………………………………12分
∴
∴sin-cos=
……………14分
19.(Ⅰ)證明：
連Ａ1B，Ｄ
……２分
連結
，則
又
，故D1E⊥平面AB
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Ｅ為棱BC的中點．
………………9分
(Ⅲ).
………………………11分
在
中，
………………………14分
20. (Ⅰ)證明:令
，總有
恒成立．
，總有
恒成立．
即 
令 
令
故函數
是奇函數.
………………………………………………5分
(Ⅱ) 
，
．…………………………………………8分
……………………………………………………………………………10分
(Ⅲ)
……………………………………………………………………………15分
21．解：（Ⅰ）若
為等腰直角
三角形，所以有OA=OF2，即b=c ． ………2分
所以
…………５分
（Ⅱ）由題知
其中，
．
由
…８分
將B點坐標代入
，
解得
． �、佟 �10分
又由
② …12分
由①, ②解得,
所以橢圓方程為
．
……………………………………………14分
22．解： 
（Ⅰ）由題意，得
所以，
…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
－4
（-4，-2）
－2
1
+
0
－
0
+
極大值
極小值
函數值
－11
13
4
在[－4，1]上的最大值為13，最小值為－11。 …………………10分
（Ⅲ）
或
．所以存在
或
，使
．
……………15分
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