題目列表(包括答案和解析)
已知向量
=（
），
=（
,
），其中（
）．函數
，其圖象的一條對稱軸為
．
（I）求函數
的表達式及單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若
=1，b=l，S△ABC=
，求a的值．
【解析】第一問利用向量的數量積公式表示出
，然后利用
得到
，從而得打解析式。第二問中，利用第一問的結論，表示出A，結合正弦面積公式和余弦定理求解a的值。
解：因為
由余弦定理得
，……11分故
如圖，直三棱柱
中，
，
，
是棱
的中點.
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
如圖，直三棱柱
中，
，
，
是棱
的中點.
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
中，
，
，
是棱
的中點.
；
的余弦值。
如圖，在直三棱柱
中， AB=1，
， 
.
(Ⅰ)證明：
；
（Ⅱ）求二面角A—
—B的余弦值。
一、選擇題（每小題5分，滿分60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
D
B
B
A
C
C
A
D
A
D
二、填空題（每小題4分，滿分16分）
13．-6 14．
15．
16．②③
三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）
17．（I）
（Ⅱ）
函數
的值域為
18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件
、
、
，則
，且有
即
（Ⅱ）由（1）
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：
19．解：法一
（I）設
是
的中點，連結
，
則四邊形
為方形，
，故
，
即
又
平面
（Ⅱ）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中點
，連結
又
，
則
，取
的中點
，連結
則
為二面角
的平面角
連結
，在
中，
，
取
的中點
，連結
，
，在
中，
二面角的余弦值為
法二：
（I）以
為原點，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
又因為
所以，平面
（Ⅱ）設
為平面
的一個法向量。
由
得
取
，則
又
，
設
為平面
的一個法向量，由
，
，
得
取
取
設
與
的夾角為
，二面角為
，顯然為銳角，
，即為所求
20．解：（I）
或
故
的單調遞增區間是
和
單調遞減區間是（0，2）
（Ⅱ）
在
和
遞增，在（-1，3）遞減。
有三個相異實根
21．解：（I）設
的公差為
，則：
（Ⅱ）當
時，
，由
，得
當
時，
，
，即
是以
為首項，
為公比的等比數列。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
22．解：（I）設過
與拋物線
的相切的直線的斜率是
，
則該切線的方程為：
由
得
則
都是方程
的解，故
（Ⅱ）設
由于
，故切線
的方程是：
則
，同理
則直線
的方程是
，則直線過定點（0，2）
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直線的距離最小，而到直線的距離
當且僅當
即
時取等號
設
由
得
，則
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