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        利用如圖所示的裝置可以測定做豎直下落運動的物體的加速度。立柱上端有一個電磁鐵，通電時，具有磁性的小球被吸在電磁鐵上，斷電時，小球由初速度為零開始豎直下落，計時裝置開始計時。立柱上還有5個光電門。當小球經過某一個光電門時，光電計時裝置能測出小球通過光電門所用的時間△t，用游標卡尺測出小球的直徑d，就可以求出小球經過光電門時的速度v。用刻度尺再測出電磁鐵到5個光電門的距離x，就可以求出物體豎直下落運動的加速度。所得數據如下表：

完成下列填空和作圖：

   （1）若小球所受空氣阻力為一常量，小球加速度的大小a、小球經過某一光電門時的瞬時速度v、測量值x三個物理量之間所滿足的關系式是____________；

   （2）根據表中給出的數據，在給出的坐標紙上畫出v²－x圖線；

   （3）由所畫出的v²－x圖線，得出小球加速度的大小為a＝_______m／s²。

第六部分 振動和波

第一講 基本知識介紹

《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細的補充。

一、簡諧運動

1、簡諧運動定義：= －k             ①

凡是所受合力和位移滿足①式的質點，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度：= －

2、簡諧運動的方程

回避高等數學工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。

依據：_x = －mω²Acosθ= －mω²

對于一個給定的勻速圓周運動，m、ω是恒定不變的，可以令：

mω² = k 

這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關規律。從圖1不難得出——

位移方程： = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程： = －ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程：= －ω²A cos(ωt +φ)                                   ④

相關名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。

運動學參量的相互關系：= －ω²

A = 

tgφ= －

3、簡諧運動的合成

a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x₁ = A₁cos(ωt +φ₁)和x₂ = A₂cos(ωt +φ₂) 合成，可令合振動x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x₁ + x₂ ，解得

A =  ，φ= arctg 

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動合成。當質點同時參與兩個垂直的振動x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)時，這兩個振動方程事實上已經構成了質點在二維空間運動的軌跡參數方程，消去參數t后，得一般形式的軌跡方程為

+－2cos(φ₂－φ₁) = sin²(φ₂－φ₁)

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；

當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；

當φ₂－φ₁取其它值，軌跡將更為復雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。

c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x₁ = Acos(ω₁t + φ)和x₂ = Acos(ω₂t + φ) ，由于合運動x = x₁ + x₂ ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為的“拍”現象。

4、簡諧運動的周期

由②式得：ω=  ，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以

T = 2π                                                      ⑤

5、簡諧運動的能量

一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構成，即

= mv² + kx² = kA²

注意：振子的勢能是由（回復力系數）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復計量。

6、阻尼振動、受迫振動和共振

和高考要求基本相同。

二、機械波

1、波的產生和傳播

產生的過程和條件；傳播的性質，相關參量（決定參量的物理因素）

2、機械波的描述

a、波動圖象。和振動圖象的聯系

b、波動方程

如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質點的振動方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

這個方程展示的是一個復變函數。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數，在x-y坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕為波動方程。

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質種傳播時，能獨立的維持它們的各自形態傳播，在相遇的區域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質中的疊加將形成一種特殊形態：振動加強的區域和振動削弱的區域穩定分布且彼此隔開。

我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規律。如圖2所示，我們用S₁和S₂表示兩個波源，P表示空間任意一點。

當振源的振動方向相同時，令振源S₁的振動方程為y₁ = A₁cosωt ，振源S₁的振動方程為y₂ = A₂cosωt ，則在空間P點（距S₁為r₁ ，距S₂為r₂），兩振源引起的分振動分別是

y₁′= A₁cos〔ω（t ? ）〕

y₂′= A₂cos〔ω（t ? ）〕

P點便出現兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（φ₁ =  ，φ₂ = ），且初相差Δφ= （r₂ – r₁）。根據前面已經做過的討論，有

r₂ ? r₁ = kλ時（k = 0，±1，±2，…），P點振動加強，振幅為A₁ + A₂ ；

r₂ ? r₁ =（2k ? 1）時（k = 0，±1，±2，…），P點振動削弱，振幅為│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知識點和高考要求相同。

5、多普勒效應

當波源或者接受者相對與波的傳播介質運動時，接收者會發現波的頻率發生變化。多普勒效應的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發波頻率f和波相對介質的傳播速度v是恒定不變的）——

a、只有接收者相對介質運動（如圖3所示）

設接收者以速度v₁正對靜止的波源運動。

如果接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數為f ，

當他迎著波源運動時，設其在單位時間到達B點，則= v₁ ，、

在從A運動到B的過程中，接收者事實上“提前”多接收到了n個波

n = = = 

顯然，在單位時間內，接收者接收到的總的波的數目為：f + n = f ，這就是接收者發現的頻率f₁ 。即

f₁ = f 

顯然，如果v₁背離波源運動，只要將上式中的v₁代入負值即可。如果v₁的方向不是正對S ，只要將v₁出正對的分量即可。

b、只有波源相對介質運動（如圖4所示）

設波源以速度v₂正對靜止的接收者運動。

如果波源S不動，在單位時間內，接收者在A點應接收f個波，故S到A的距離：= fλ 

在單位時間內，S運動至S′，即= v₂ 。由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長

λ′= = = = 

而每個波在介質中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變為

f₂ = = f 

當v₂背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。

c、當接收者和波源均相對傳播介質運動

當接收者正對波源以速度v₁（相對介質速度）運動，波源也正對接收者以速度v₂（相對介質速度）運動，我們的討論可以在b情形的過程上延續…

f₃ =  f₂ = f 

關于速度方向改變的問題，討論類似a情形。

6、聲波

a、樂音和噪音

b、聲音的三要素：音調、響度和音品

c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專題

一、簡諧運動的證明與周期計算

物理情形：如圖5所示，將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。

模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復力與位移關系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當簡諧運動被證明后，回復力系數k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m為固定值，可令： = k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。

周期T = 2π= 2π

答：汞柱的周期為2π 。

學生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉動，在滾輪上覆蓋一塊均質的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0結合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

答案：木板運動周期為2π 。

鞏固應用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質量均勻直桿，構成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉軸轉動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動�，F觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。

解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設松鼠的質量為m ，即：

N = mg                            ①

再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：

M_N = M_f

現考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設它在導軌方向上距C點為x），上式即成：

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。

根據牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。如果我們以C在導軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關系——

= －k

其中k =  ，對于這個系統而言，k是固定不變的。

顯然這就是簡諧運動的定義式。

答案：松鼠做簡諧運動。

評說：這是第十三屆物理奧賽預賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的簡諧運動

1、彈簧振子

物理情形：如圖8所示，用彈性系數為k的輕質彈簧連著一個質量為m的小球，置于傾角為θ

【選做題】請從A、B和C三小題中選定兩題作答，如都作答則按B、C兩題評分

A．(選修模塊3—3)(12分)

某學習小組做了如下實驗：先把空的燒瓶放入冰箱冷凍，取出燒瓶，并迅速把一個氣球緊套在燒瓶頸上，封閉了一部分氣體，然后將燒瓶放進盛滿熱水的燒杯里，氣球逐漸膨脹起來，如圖。

（1）(4分)在氣球膨脹過程中，下列說法正確的是  ▲ 

A．該密閉氣體分子間的作用力增大

B．該密閉氣體組成的系統熵增加

C．該密閉氣體的壓強是由于氣體重力而產生的

D．該密閉氣體的體積是所有氣體分子的體積之和

（2）(4分)若某時刻該密閉氣體的體積為V，密度為ρ，平均摩爾質量為M，阿伏加德羅常數為N_A，則該密閉氣體的分子個數為   ▲    ；

（3）(4分)若將該密閉氣體視為理想氣體，氣球逐漸膨脹起來的過程中，氣體對外做了   0.6J的功，同時吸收了0.9J的熱量，則該氣體內能變化了  ▲  J；若氣球在膨脹過程中迅速脫離瓶頸，則該氣球內氣體的溫度  ▲  (填“升高”或“降低”)。

B．(選修模塊3—4) (12分)

（1）(3分) 下列關于光和波的說法中，正確的是 ▲ 

A．赫茲預言了電磁波的存在

B．電磁波和機械波都能產生干涉和衍射現象

C．光的衍射現象能說明光具有粒子性

D．光的偏振說明光波是橫波

（2）(4分) 三種透明介質疊放在一起，且相互平行，一束光在Ⅰ和Ⅱ兩介質的界面上發生了全反射后，射向Ⅱ和Ⅲ兩介質界面，發生折射如圖所示，設光在這三種介質中的速率v₁、v₂、v₃，則它們的大小關系是  ▲ 

A．v₁>v₂>v₃                                     B．v₁>v₃>v₂    C．v₁<v₂<v₃   D．v₂>v₁>v₃

（3）(5分) 如圖所示，某列波在t=0時刻的波形如圖中實線，虛線為t=0.3s（該波的周期T>0.3s）時刻的波形圖。已知t=0時刻質點P正在做加速運動，求質點P振動的周期和波的傳播速度。

C．(選修模塊3—5)(12分)

（1） (3分)下列說法正確的是  ▲   ．

A．康普頓效應和電子的衍射現象說明粒子的波動性

B．α粒子散射實驗可以用來估算原子核半徑

C．核子結合成原子核時一定有質量虧損，釋放出能量

D．氫原子輻射出一個光子后能量減小，核外電子的運動加速度減小

（2）(4分) 2009年諾貝爾物理學獎得主威拉德·博伊爾和喬治·史密斯主要成就是發明了電荷耦合器件(CCD)圖像傳感器。他們的發明利用了愛因斯坦的光電效應原理。如圖所示電路可研究光電效應規律。圖中標有A和K的為光電管，其中A為陰極，K為陽級。理想電流計可檢測通過光電管的電流，理想電壓表用來指示光電管兩端的電壓。現接通電源，用光子能量為10.5eV的光照射陰極A，電流計中有示數，若將滑動變阻器的滑片P緩慢向右滑動，電流計的讀數逐漸減小，當滑至某一位置時電流計的讀數恰好為零，讀出此時電壓有的示數為6.0V；現保持滑片P位置不變，以下判斷正確的是  ▲ 

A. 光電管陰極材料的逸出功為4.5eV

B. 若增大入射光的強度，電流計的讀數不為零

C. 若用光子能量為12eV的光照射陰極A，光電子的最大初動能一定變大

D. 若用光子能量為9.5eV的光照射陰極A，同時把滑片P向左移動少許，電流計的讀數一定不為零

（3） (5分) 靜止的鐳核發生衰變，釋放出的粒子的動能為E₀ ,假設衰變時能量全部以動能形式釋放出來，求衰變后新核的動能和衰變過程中總的質量虧損。

【選做題】請從A、B和C三小題中選定兩題作答，如都作答則按B、C兩題評分
A．(選修模塊3—3)(12分)
某學習小組做了如下實驗：先把空的燒瓶放入冰箱冷凍，取出燒瓶，并迅速把一個氣球緊套在燒瓶頸上，封閉了一部分氣體，然后將燒瓶放進盛滿熱水的燒杯里，氣球逐漸膨脹起來，如圖。

（1）(4分)在氣球膨脹過程中，下列說法正確的是  ▲ 
A．該密閉氣體分子間的作用力增大
B．該密閉氣體組成的系統熵增加
C．該密閉氣體的壓強是由于氣體重力而產生的
D．該密閉氣體的體積是所有氣體分子的體積之和
（2）(4分)若某時刻該密閉氣體的體積為V，密度為ρ，平均摩爾質量為M，阿伏加德羅常數為N_A，則該密閉氣體的分子個數為    ▲   ；
（3）(4分)若將該密閉氣體視為理想氣體，氣球逐漸膨脹起來的過程中，氣體對外做了    0.6J的功，同時吸收了0.9J的熱量，則該氣體內能變化了  ▲ J；若氣球在膨脹過程中迅速脫離瓶頸，則該氣球內氣體的溫度  ▲ (填“升高”或“降低”)。
B．(選修模塊3—4) (12分)
（1）(3分) 下列關于光和波的說法中，正確的是  ▲ 
A．赫茲預言了電磁波的存在
B．電磁波和機械波都能產生干涉和衍射現象
C．光的衍射現象能說明光具有粒子性
D．光的偏振說明光波是橫波
（2）(4分) 三種透明介質疊放在一起，且相互平行，一束光在Ⅰ和Ⅱ兩介質的界面上發生了全反射后，射向Ⅱ和Ⅲ兩介質界面，發生折射如圖所示，設光在這三種介質中的速率v₁、v₂、v₃，則它們的大小關系是  ▲ 

A．v₁>v₂>v₃                                    B．v₁>v₃> v₂    C．v₁<v₂<v₃   D．v₂> v₁>v₃
（3）(5分)如圖所示，某列波在t=0時刻的波形如圖中實線，虛線為t=0.3s（該波的周期T>0.3s）時刻的波形圖。已知t=0時刻質點P正在做加速運動，求質點P振動的周期和波的傳播速度。

C．(選修模塊3—5) (12分)
（1） (3分)下列說法正確的是  ▲  ．
A．康普頓效應和電子的衍射現象說明粒子的波動性
B．α粒子散射實驗可以用來估算原子核半徑
C．核子結合成原子核時一定有質量虧損，釋放出能量
D．氫原子輻射出一個光子后能量減小，核外電子的運動加速度減小
（2）(4分) 2009年諾貝爾物理學獎得主威拉德·博伊爾和喬治·史密斯主要成就是發明了電荷耦合器件(CCD)圖像傳感器。他們的發明利用了愛因斯坦的光電效應原理。如圖所示電路可研究光電效應規律。圖中標有A和K的為光電管，其中A為陰極，K為陽級。理想電流計可檢測通過光電管的電流，理想電壓表用來指示光電管兩端的電壓�，F接通電源，用光子能量為10.5eV的光照射陰極A，電流計中有示數，若將滑動變阻器的滑片P緩慢向右滑動，電流計的讀數逐漸減小，當滑至某一位置時電流計的讀數恰好為零，讀出此時電壓有的示數為6.0V；現保持滑片P位置不變，以下判斷正確的是  ▲ 

A. 光電管陰極材料的逸出功為4.5eV
B. 若增大入射光的強度，電流計的讀數不為零
C. 若用光子能量為12eV的光照射陰極A，光電子的最大初動能一定變大
D. 若用光子能量為9.5eV的光照射陰極A，同時把滑片P向左移動少許，電流計的讀數一定不為零
（3） (5分) 靜止的鐳核發生衰變，釋放出的粒子的動能為E₀ ,假設衰變時能量全部以動能形式釋放出來，求衰變后新核的動能和衰變過程中總的質量虧損。

【選做題】請從A、B和C三小題中選定兩題作答，如都作答則按B、C兩題評分

A．(選修模塊3—3)(12分)

某學習小組做了如下實驗：先把空的燒瓶放入冰箱冷凍，取出燒瓶，并迅速把一個氣球緊套在燒瓶頸上，封閉了一部分氣體，然后將燒瓶放進盛滿熱水的燒杯里，氣球逐漸膨脹起來，如圖。

（1）(4分)在氣球膨脹過程中，下列說法正確的是  ▲ 

A．該密閉氣體分子間的作用力增大

B．該密閉氣體組成的系統熵增加

C．該密閉氣體的壓強是由于氣體重力而產生的

D．該密閉氣體的體積是所有氣體分子的體積之和

（2）(4分)若某時刻該密閉氣體的體積為V，密度為ρ，平均摩爾質量為M，阿伏加德羅常數為N_A，則該密閉氣體的分子個數為    ▲    ；

（3）(4分)若將該密閉氣體視為理想氣體，氣球逐漸膨脹起來的過程中，氣體對外做了    0.6J的功，同時吸收了0.9J的熱量，則該氣體內能變化了  ▲  J；若氣球在膨脹過程中迅速脫離瓶頸，則該氣球內氣體的溫度  ▲  (填“升高”或“降低”)。

B．(選修模塊3—4) (12分)

（1）(3分) 下列關于光和波的說法中，正確的是  ▲ 

A．赫茲預言了電磁波的存在

B．電磁波和機械波都能產生干涉和衍射現象

C．光的衍射現象能說明光具有粒子性

D．光的偏振說明光波是橫波

（2）(4分) 三種透明介質疊放在一起，且相互平行，一束光在Ⅰ和Ⅱ兩介質的界面上發生了全反射后，射向Ⅱ和Ⅲ兩介質界面，發生折射如圖所示，設光在這三種介質中的速率v₁、v₂、v₃，則它們的大小關系是  ▲ 

A．v₁>v₂>v₃                                      B．v₁>v₃> v₂    C．v₁<v₂<v₃    D．v₂> v₁>v₃

（3）(5分) 如圖所示，某列波在t=0時刻的波形如圖中實線，虛線為t=0.3s（該波的周期T>0.3s）時刻的波形圖。已知t=0時刻質點P正在做加速運動，求質點P振動的周期和波的傳播速度。

C．(選修模塊3—5) (12分)

（1） (3分)下列說法正確的是  ▲   ．

A．康普頓效應和電子的衍射現象說明粒子的波動性

B．α粒子散射實驗可以用來估算原子核半徑

C．核子結合成原子核時一定有質量虧損，釋放出能量

D．氫原子輻射出一個光子后能量減小，核外電子的運動加速度減小

（2）(4分) 2009年諾貝爾物理學獎得主威拉德·博伊爾和喬治·史密斯主要成就是發明了電荷耦合器件(CCD)圖像傳感器。他們的發明利用了愛因斯坦的光電效應原理。如圖所示電路可研究光電效應規律。圖中標有A和K的為光電管，其中A為陰極，K為陽級。理想電流計可檢測通過光電管的電流，理想電壓表用來指示光電管兩端的電壓�，F接通電源，用光子能量為10.5eV的光照射陰極A，電流計中有示數，若將滑動變阻器的滑片P緩慢向右滑動，電流計的讀數逐漸減小，當滑至某一位置時電流計的讀數恰好為零，讀出此時電壓有的示數為6.0V；現保持滑片P位置不變，以下判斷正確的是  ▲ 

A. 光電管陰極材料的逸出功為4.5eV

B. 若增大入射光的強度，電流計的讀數不為零

C. 若用光子能量為12eV的光照射陰極A，光電子的最大初動能一定變大

D. 若用光子能量為9.5eV的光照射陰極A，同時把滑片P向左移動少許，電流計的讀數一定不為零

（3） (5分) 靜止的鐳核發生衰變，釋放出的粒子的動能為E₀ ,假設衰變時能量全部以動能形式釋放出來，求衰變后新核的動能和衰變過程中總的質量虧損。