題目列表(包括答案和解析)
某酒店根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在預(yù)定了客房的客人中，會(huì)有20%的人不出現(xiàn)（即不來(lái)入�。�，所以酒店經(jīng)常采取超額預(yù)定的方式，即預(yù)訂出去的客房數(shù)超出可用客房數(shù)，由于超額預(yù)定酒店會(huì)面臨的損失包括：若客人未能如約入住而產(chǎn)生一間空房的話(huà)，會(huì)造成50元的損失；而已經(jīng)預(yù)定房間的客人由于超額預(yù)定而不能得到房間時(shí)，賓館會(huì)損失100元（將客人安排到其他賓館的相關(guān)費(fèi)用），現(xiàn)酒店將5間空房預(yù)定給了7位客人，設(shè)每位預(yù)定客房的客人出現(xiàn)與否是相互獨(dú)立的.
求7人中恰有2人不出現(xiàn)的概率；
求客人來(lái)而沒(méi)有房住的情況發(fā)生的概率；
設(shè)
為酒店的損失，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
（參考數(shù)據(jù)：
，
，
）
設(shè)橢圓 
：
（
）的一個(gè)頂點(diǎn)為
，
，
分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率
，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)
的直線 
與橢圓 
交于
，
兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線 ，使得
，若存在，求出直線
的方程；若不存在，說(shuō)明理由；
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。（1）中橢圓的頂點(diǎn)為
，即
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714546570844292_ST.files/image015.png">，得到
，然后求解得到橢圓方程（2）中，對(duì)直線分為兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。
解：（1）橢圓的頂點(diǎn)為，即
，解得，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
--------4分
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意． --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)存在直線為
，且
，
.
由
得
， ----------7分
，
，
=
所以
，
----------10分
故直線的方程為
或
即
或
設(shè)函數(shù)
．
（I）求
的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)0<a<2時(shí)，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值．
【解析】第一問(wèn)定義域?yàn)檎鏀?shù)大于零，得到
．
．
令
，則
，所以
或
，得到結(jié)論。
第二問(wèn)中，
（
）．
．
因?yàn)?<a<2，所以
，
．令
可得
．
對(duì)參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)
在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)．
（I）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">． ………………………1分
．
令，則，所以或． ……………………3分
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">，所以．
令
，則
，所以
．
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">，所以
． ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，
單調(diào)遞減區(qū)間為
．
………………………7分
（II） （）．
．
因?yàn)?<a<2，所以，．令 可得．…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．
①當(dāng)
，即
時(shí)，
在區(qū)間上，在上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)．
所以
． ………………………10分
②當(dāng)
，即
時(shí)，在區(qū)間
上為減函數(shù)．
所以
．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點(diǎn) 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對(duì)任意 
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中，利用當(dāng)
時(shí)，
．
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（
），
則
，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：
第二問(wèn)中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．
，
因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），
則，
所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時(shí)，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，對(duì)稱(chēng)軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時(shí)，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
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