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設．

　　

(1)求證：為定值；

(2)求面積的最值．

定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中數列{c_n}的“保三角形函數”，問數列{c_n}最多有多少項．
[理科]根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

定義y=log_1+xf（x，y），f（x，y）=（1+x）^y（x＞0，y＞0）
（1）比較f（1，3）與f（2，2）的大小；
（2）若e＜x＜y，證明：f（x-1，y）＞f（y-1，x）；
（3）設g（x）=f（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，曲線C在x₀處的切線斜率為k，若x₀∈（1，1-a），且存在實數b，使得k=-4，求實數a的取值范圍．

定義：對于任意n∈N^*，滿足條件

an+an+2

2

≤an+1且a_n≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列a_n稱為T數列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數列a_n是T數列；
（2）設數列b_n的通項為bn=50n-(

3

2

)n，且數列b_n是T數列，求常數M的取值范圍；
（3）設數列cn=|

p

n

-1|（n∈N^*，p＞1），問數列b_n是否是T數列？請說明理由．

定義在D上的函數，如果滿足：存在常數M＞0，對任意x∈D都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數．
（1）試判斷函數f(x)=2sin(x+

π

6

)+3在實數集R上，函數g(x)=x3+

3

x

在[

1

3

，3]上是不是有界函數？若是，請給出證明；若不是，請說出理由．
（2）若已知某質點的運動距離S與時間t的關系為S(t)=

1

4

t4+3lnt-at，要使在t∈[

1

3

，3]上每一時刻的瞬時速度的絕對值都不大于13，求實數a的取值范圍．