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橢圓的左、右焦點分別為，一條直線經過點與橢圓交于兩點．

⑴求的周長；

⑵若的傾斜角為，求的面積．

【解析】（1）根據橢圓的定義的周長等于4a.

（2）設,則,然后直線l的方程與橢圓方程聯立，消去x，利用韋達定理可求出所求三角形的面積.

 

（1）若橢圓的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點．在此條件下我們可以提出這樣一個問題：“設△PF₁F₂的過P角的外角平分線為l，自焦點F₂引l的垂線，垂足為Q，試求Q點的軌跡方程？”
對該問題某同學給出了一個正確的求解，但部分解答過程因作業本受潮模糊了，我們在

這些模糊地方劃了線，請你將它補充完整．
解：延長F₂Q 交F₁P的延長線于E，據題意，
E與F₂關于l對稱，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=，
在△EF₁F₂中，顯然OQ是平行于EF₁的中位線，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=，
注意到P是橢圓上異于長軸端點的點，所以Q點的軌跡是，
其方程是：．
（2）如圖2，雙曲線的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦點依次為F₁、F₂，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點．請你試著提出與（1）類似的問題，并加以證明．

設b0，橢圓方程為=1，拋物線方程為x­²=8（y-b）．如圖所示，過點F（0,b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G．已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F_1．                                                                                     

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設A₁B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

已知橢圓的離心率為，F為橢圓的右焦點，M，N兩點在橢圓C上，且，定點A（-4，0）．
（1）若λ=1時，有，求橢圓C的方程；
（2）在條件（1）所確定的橢圓C下，當動直線MN斜率為k，且設s=1+3k²時，試求關于S的函數表達式f（s）的最大值，以及此時M，N兩點所在的直線方程．

已知橢圓的離心率為，F為橢圓的右焦點，M，N兩點在橢圓C上，且，定點A（-4，0）．
（1）若λ=1時，有，求橢圓C的方程；
（2）在條件（1）所確定的橢圓C下，當動直線MN斜率為k，且設s=1+3k²時，試求關于S的函數表達式f（s）的最大值，以及此時M，N兩點所在的直線方程．