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如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

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如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點F，拋物線：x2=4

3

y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，當(dāng)m變化時，探求λ₁+λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當(dāng)m變化時，直線AE與BD相交于定點N(

5

2

，0)．

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如圖，過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點F₁作x軸的垂線交橢圓于點P，
點A和點B分別為橢圓的右頂點和上頂點，OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）過右焦點F₂作一條弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面積為20

3

，求橢圓的方程．

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如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，在x軸負(fù)半軸上有一點B，滿足AB⊥AF₂．且F₁為BF₂的中點．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）D是過A，B，F(xiàn)₂三點的圓上的點，D到直線l：x-

3

y-3=0的最大距離等于橢圓長軸的長，求橢圓C的方程．

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如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，點F為左焦點，點B為短軸的上頂點，點A為長軸的右頂點．當(dāng)

FB

⊥

BA

時，橢圓被稱為“黃金橢圓”，則“黃金橢圓”的離心率e等于（　�。�

A． 5 -1 2

B． 5 +1 4

C． 3 -1 2

D． 3 +1 4

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一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個答案中，只有一個項是符合題目要求的，把正確的代號填在答題卡指定的位置上。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

C

A

A

A

D

B

D

C

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

11.-1或             12.               13.0.32    

14.                  15.100100   

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答。

16. (本小題滿分13分）

解:

兩邊平方并整理得

根據(jù)余弦定理得

17. (本小題滿分13分）

解法一：

（Ⅰ）由俯視圖可得：

           有俯視圖知

故是以B為直角頂點的直角三角形。

（Ⅱ）三角形PAC的面積為

俯視圖是底邊長為，斜邊上的高為的等腰直角三角形

三角形PAB的面積為，且PB=

由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，故其面積為

故三棱錐P-ABC的全面積為

（Ⅲ）在面ABC內(nèi)過A做AC的垂線AQ,

以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為x軸、y軸 、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則

設(shè)為面PAB的一個法向量

則

取設(shè)

故當(dāng)E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60⁰

解法二：

（Ⅰ）由正視圖和俯視圖可判斷

在面ABC內(nèi)過A做AC的垂線AQ

以A為原點，AC、AQ、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則

故是以B為直角頂點的直角三角形。

（Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）設(shè)為面PAB的一個法向量

則取

故當(dāng)E為PC的中點時，AE與面PAB所成的為60⁰

18. (本小題滿分13分）

解：

（Ⅰ）設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件A

因為從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有中情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中，抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)的情況有5種

所以

（Ⅱ）由數(shù)據(jù)求得

由公式求得

再由

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為

（Ⅲ）當(dāng)時，

同樣，當(dāng)時，

所以，該小組所得線性回歸方程是理想的。

19. (本小題滿分13分）‘

   解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

    ①

點A(1,1)在橢圓上，    ②

又    ③

故所求橢圓方程為

（Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1)

則

易知AP的斜率k必存在，設(shè)AP；則

由

由A(1,1)得的一個根

由韋達(dá)定理得：

以-k代k得

故

即存在實數(shù)

20. (本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）

當(dāng)時，

當(dāng)時，

故連續(xù)，故

（Ⅱ）即不等式在區(qū)間有解

可化為

在區(qū)間有解

令

故在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增

又

所以，實數(shù)a的取值范圍為

（Ⅲ）設(shè)存在公差為d首項等于的等差數(shù)列

和公比q大于0的等比數(shù)列，使得數(shù)列的前n項和等于

故

即   ①

  ②

②-①×2得

（舍去）

       故，

此時，數(shù)列的的前n項和等于

故存在滿足題意的等差數(shù)列金額等比數(shù)列，使得數(shù)列的前n項和等于

21. 本題有（1）、（2）、（3）三個小題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分

（1）(本小題滿分7分）選修4――2：矩陣與變換

解一：

設(shè)

解二：

設(shè)  則

故

（2）(本小題滿分7分）選修4――4：坐標(biāo)系與凡屬方程

解：曲線C₁可化為：

曲線C₂可化為

聯(lián)立  解得交點為

（3）(本小題滿分7分）選修4――5：不等式選講

解：

當(dāng)且僅當(dāng)

取最小值，最小值為