如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側棱和底面垂直的棱柱）中，有AC⊥AB，AC=AB=AA₁=2，E，F分別是棱AB，A₁C₁的中點．
（I）證明：EF∥平面BCC_1B1；
（II）求點C₁到平面AFB₁的距離．

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如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側棱和底面垂直的棱柱）中，有AC⊥AB，AC=AB=AA₁=2，E，F分別是棱AB，A₁C₁的中點．
（I）證明：EF∥平面BCC_1B1；
（II）求點C₁到平面AFB₁的距離．

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考 生 填 寫 座 位

號 碼 的 末 兩 位

題 號

一

二

三

四

17

18

19

20

21

22

23

得 分

一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；每小題選出答案后，請用2B鉛筆把機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

A

B

A

C

D

D

C

D

得分

評卷人

二．填空題(請把答案填在對應題號的橫線上)

13..    14．.

15．.    16. （或） .

三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）

17.( 本題滿分12分)

解：（Ⅰ）由遞推關系（2分）得，（3分）；；（6分），

（Ⅱ）由，即（7分），所以；.........12分（不單列扣1分）

18．（本題滿分12分）

證明：（Ⅰ） 在三棱柱中，

    ∵側棱垂直底面，

∴ 四邊形，，都是矩形，

又 ∵ ，，，

∴ ，又 ∵ 為中點，

在中，，同理，．

     ∴ ，∴ ，.....4分

     在中，，

     在中，，

∴ ，∴ ．....6分

又 ，

∴　．..........8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴ 直線與平面所成的角為．..........9分

在中，

∴ ，...............11分

即 直線與平面所成的角的余弦值為．.......12分

解法二：（Ⅰ）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，，，（3分），則 ，，，  ∴ ，

∴，∴（5分），

∴ ，

∴ ，∴（7分）

又 ，∴ ．....8分

（Ⅱ）設向量與的夾角為，

∵，

∴....10分

設直線與平面所成的角為

∵平面

∴

∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分

19．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）每個提升站需要緊急維修的概率為（2分），不需要緊急維修的概率為（3分），設需要維修的提升站數為，則．

， （4分）

， （5分）

， （6分）

．（7分）

（Ⅱ）∵，∴ 的取值是，則（元）的分布列是：

..................（9分）

∵，∴，又 ，

∴  ．

（或）

答：緊急維修費用的數學期望是750元．..........12分

20.（本題滿分14分）

解： (Ⅰ)設“封閉函數 ” 的“封閉區間”為 ，其中．

 在上為減函數，故有：，

解得：，，

∴ 的“封閉區間”為．.........4分

(Ⅱ)，令，得：....6分

∴ 在(，0)上是增函數，在(2 ，+)上也是增函數；在(0 ，2)上是減函數．

顯然在上不是單調函數，故不是上的“封閉函數 ”．...8分

(Ⅲ)假設存在實數，使函數是上的“封閉函數 ”且“封閉區間”是，則

(1)    函數在上是單調函數．

，若函數在上是增函數，則對恒成立，則：；解得：．...10分

(2)    由，知，故函數在上是增函數，所以， 函數在區間 上是增函數，故有：

，∵，∴，從而方程至少有兩個不相等的實數根．

又方程有一根為，故：方程至少有一個不為的根．

∴，解得：且0..........13分

由(1)，(2)知：3．..........14分

21.（本題滿分14分）

解：（Ⅰ）∵離心率，且短半軸長，

∴ ，∴，

     ∴ 橢圓的方程為．.............5分

（Ⅱ）設，則，，則（6分），則直線的方程為，聯立，得

（8分），

（或寫成：（8分），

（或，即 （8分）

 ∵ ，∴ ）

解之：，（10分），

∴ （11分），

（或，（11分），）

又 ∵、、三點共線，∴ （12分），而 ，

∴ ，..............13分

（或（13分），解之：......14分）

∵ ，∴ ，解之： .........14分．

四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分,滿分10分； 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）

你選做_______題(請在橫線上注明題號)

解（或證明）：

22.證明：∵是的切線，直線是的割線

∴ ，（2分）

  又 ∵ ，∴ ，∴（5分），

     ∵ ，

∴ △與△兩邊對應成比例，且夾角相等（7分），

∴ △∽△（8分）

∴ （10分）．

23.解:（Ⅰ）直線的參數方程是，即 ..5分

（Ⅱ）設，則，

∵，（7分），

∴ ，即圓的極坐標方程為     

．.........10分

24.解：由 得 ，∴不等式的解集為（4分）

∵

∴當≤1時，為空集，顯然成立，......6分

當＞1時，=......8分

由  得  或    或，即，

這與＞1矛盾，

綜合上述得：≤1．.......10分