如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱錐P-ABC的體積．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱錐C-DEF的體積與三棱錐P-ABC的體積比．

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如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點，F為PC上的一點，且PF：FC=3：1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱錐C-DEF的體積與三棱錐P-ABC的體積比．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.B   2. D  3.B   4.B   5.A   6.A   7.C   8. A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.      10. 4       11.  （2分），（3分） 

12.      13.         14.       15.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

16.（本題滿分10分）

解：（1）由向量共線有：

       即，            4分

       又，所以，

       則=，即          6分

      （2）由余弦定理得

則，

       所以當且僅當時等號成立        10分

       所以．          12分

17．（本小題滿分12分）

解：（1）由已知條件得

      2分

即，則             6分

答：的值為．

（2）解：可能的取值為0，1，2，3       5分

              6分

     7分

                 8分

   的分布列為：

0

1

2

3

        10分

所以                12分

答：數學期望為．

18．（本小題滿分14分）

解：(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

        ∴，∴；……1分

       又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

       同理可得  …………………………2分

       ∵，∴……3分

      ∵平面ABC，∴PA⊥BC.   …………4分

(2)  如圖所示取PC的中點G，…………………5分

連結AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點

      又D、E分別為BC、AC的中點，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分 

      ∴面ABG∥面DEF．           

即PC上的中點G為所求的點．                  …………… 9分

(3)由(2)知G這PC的中點，連結GE，∴GE⊥平面ABC，過E作EH⊥AB于H，連結GH，則GH⊥AB，∴∠EHG為二面角G-AB-C的平面角．         …………… 11分

∵        又  

∴     又      …………… 13分

∴                         

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值為．         …………… 14分

19．（本小題滿分14分）

（1），   ……1分

∴當時，，此時單調遞減

當時，，此時單調遞增   ……3分 

∴的極小值為 ……4分

（2）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，，  ……6分

當時，，在上單調遞增  ……7分

∴

∴在（1）的條件下，……9分

（3）假設存在實數，使（）有最小值3， …9分

① 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.  ……10分 

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增

，，滿足條件.  ……11分

③ 當時，在上單調遞減，，（舍去），所以，此時無最小值.綜上，存在實數，使得當時有最小值3.……14分

20．解（1）∵過（0，0）

    則