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設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

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設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

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設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

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設直線l：y=k（x+1）與橢圓x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

       AABC    BDDC    DBAB

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13．3    14．2    15．    16．①④

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

17．解：                                                                                1分

∵∴CD⊥AB，∴∠ADC=90⁰。

       在Rt中，                                                               4分

                                                                                                                  6分

       ∴                                                7分

       又∵，∴                  9分

       ∴=×-×                                                     12分

18．解：（Ⅰ）當時，                                                    1分

       當≥2時，

               3分

       ∵是等差數列，符合≥2時，的形式，

       ∴∴                                                                 5分

   （Ⅱ）∵，由題意得                                                        7分

又，解得                                        8分

       ∴                                                                                                 9分

       由。

       ∴，即是首項為2，

       公比為16的等比數列                                                                                      11分

       ∴數列的前n項和                                   12分

19．解：設90-140分之間的人數是，由130-140分數段的人數為2人

       可知0.005×10×=2，得

   （Ⅰ）平均數95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113. 4分

       中位數=                                                         6分

   （Ⅱ）依題意，第一組共有40×0.01×10=4人，記作；第五組共有2分，記作從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：{A₁，A₂}、{A₁，A₃}、{A₁，A₄}、{A₂，A₃}、{A₂，A₄}、{A₃，A₄}；{A₁，B₁}、{A₂，B₁}、{A₂，B₂}、

       {A₃，B₁}、{A₃，B₂}、{A₄，B₁}、{A₄，B₂}、{A₁，B₂}、                                     9分

       設事件A：選出的兩人為“黃金搭檔組”。若兩人成績之差大于20，則兩人分別來自于第一組和第五組，共有8中選法，故                                          12分

20．解：（Ⅰ）空間幾何體的直觀圖如圖所示，

       且可得到平面ABCD⊥平面ABG，四邊形

       ABCD為正方形，AG=BG=，

       故AG⊥BG………………………………4分

   （Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABG，

       面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，

       ∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG………6分

       又AG⊥BG，∴AG⊥平面BGC。

       ∴平面AGD⊥平面BGC………………8分

   （Ⅲ）過G作GE⊥AB，垂足為E，則GE⊥平面ABCD

                            12分

21．（Ⅰ）依題意，直線顯然不平行于坐標軸，故可化為

       將 代入，消去，得

                                                      ①                     1分

       由直線與橢圓相交于兩個不同的點，得

       △=                                                                 2分

       化簡整理即得（☆）                                                                 4分

   （Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①，得  ②                     5分

       因為，

       得                                                                          ③                     6分

       由②③聯(lián)立，解得                                             ④                     7分

       △OAB的面積

       =

上式取等號的條件是，

       即………………9分

       當時，由④解得；當時，由④解得。

       將及這兩組值分別代入①，

       均可解出                                                                                              11分

       經驗證，，滿足（☆）式。

       所以，△OAB的面積取得最大值時橢圓方程是                          12分

       注：若未驗證（說明）滿足（☆）式，扣1分。

22．（Ⅰ）由題設條件，可設這里                     1分

       所以         ①

       又有兩個相等的實數根，而，

       所以判別式△=，即                              3分

       解得（舍去），或=-1，代入①式得                    4分

   （Ⅱ）

       因為在區(qū)間內單調遞減，

       所以當時恒成立                      5分

       ∵，對稱軸為直線在上為增函數，

       故只需                                     8分

       注意到，解得（舍去）。故的取值范圍是        10分

   （Ⅲ）當時，方程即為

       令由，得…11分

       易知在和上單調遞增，在上單調遞減，

       的極大值的極小值                      13分

       而使，時，，

       故函數的圖象與軸有且只有一個公共點，

       方程僅有一個實數根                                                               14分