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如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D為棱AB的中點，BC＝1，AA₁＝.
(1)求證：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求三棱錐D－A₁B₁C的體積.

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如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D在邊BC上， AD⊥C1D．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（Ⅱ）設E是B1C1上的一點，當的值為多少時，A1E∥平面ADC1？請給出證明．

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A．必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，則集合=   ▲   ．

2． 已知函數，則的最小正周期是      ▲        ．

3． 經過點（－2，3），且與直線平行的直線方程為      ▲        ．

4． 若復數滿足則       ▲       ．

5． 程序如下：

t←1

i←2

While  i≤4

t←t×i

i←i＋1

End  While

Print  t

以上程序輸出的結果是       ▲       ．

6． 若的方差為3，則的方差

為     ▲     ．

7． 正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為，則四面體的外接球的體積為    ▲    ．

8． 以橢圓的左焦點為圓心，c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點，則該橢圓的離心率的取值范圍是      ▲        ．

9． 設a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若點P（x，y）∈A是點P（x，y）∈B的必要不充分條件，則a的取值范圍是       ▲       ．

10．在閉區間 [－1，1]上任取兩個實數，則它們的和不大于1的概率是       ▲       ．

11．數列中，，且（，），則這個數列的通項公式

     ▲         ．

12．根據下面一組等式：

…………

可得       ▲       ．

13．在△ABC中，，D是BC邊上任意一點（D與B、C不重合），且，則等于       ▲       ．

14．設函數，記，若函數至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是      ▲        ．

答案：1．{6，7}   2．   3．   4．  5．24   6．27   7．  8．

 　   9．0＜a≤  10．   11．    12．  　13．　　14．

二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15．（本小題14分）

如圖，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．

（1）求證：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）設E是B₁C₁上的一點，當的值為多少時，

A₁E∥平面ADC₁？請給出證明．

解: （1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．………………………………………2分

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁內，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．   ……………………………………………………………5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．………………………7分

當，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁．………………………………8分

事實上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四邊形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分別是BC、B₁C₁的中點，所以B₁B∥DE，B₁B= DE． …………………………………………………10分

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．  ……………………………………………………………12分

所以四邊形ADE A₁為平行四邊形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁內，故A₁E∥平面AD C₁． ………………………………………14分

16．（本小題14分）

如圖，在四邊形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．

（1）求sin∠BAD的值；

（2）設△ABD的面積為S_△ABD，△BCD的面積為S_△BCD，求的值．

解  （1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，

則AC=10，．………………2分

又∵，AB=13，

∴． …………………………4分

∵，∴． …………………………………………………5分

∴．……………………………………………………8分

（2），，， 11分

則，∴．……………………………………14分

17．（本小題15分）

某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：

日    期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差（°C）

10

11

13

12

8

發芽數（顆）

23

25

30

26

16

該農科所確定的研究方案是:先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．

（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

 （2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠?

解：（1）設抽到不相鄰兩組數據為事件，因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是等可能出現的，其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種， ………………2分

所以  ．…………………………………………………………………4分

答：略． ……………………………………………………………………………………5分

（2）由數據，求得．………………………………………………………………7分

由公式，求得，． …………………………………………………9分

所以y關于x的線性回歸方程為． …………………………………………10分

（3）當x=10時，，|22－23|＜2；…………………………………………12分

同樣，當x=8時，，|17－16|＜2．……………………………………14分

所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的．  ……………………………………15分

18．（本小題15分）

拋物線的焦點為F，在拋物線上，且存在實數λ，使0，．

（1）求直線AB的方程；

（2）求△AOB的外接圓的方程．

解：（1）拋物線的準線方程為．

∵，∴A，B，F三點共線．由拋物線的定義，得||=． …1分

設直線AB：，而

由得． ……………………………………………3分

∴||== ．∴．……………6分

         從而，故直線AB的方程為，即．……………………8分

（2）由 求得A（4，4），B（，－1）．……………………………………10分

設△AOB的外接圓方程為，則

         解得 ………………………………………………14分

故△AOB的外接圓的方程為．…………………………………15分

19．（本小題16分）

已知函數在[1，＋∞）上為增函數，且θ∈（0，π），，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若在[1，＋∞）上為單調函數，求m的取值范圍；

（3）設，若在[1，e]上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

解：（1）由題意，≥0在上恒成立，即．………1分

         ∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，…………………2分

         只須，即，只有．結合θ∈（0，π），得．……4分

（2）由（1），得．．…………5分

∵在其定義域內為單調函數，

∴或者在[1，＋∞）恒成立．………………………6分

 等價于，即，

     而 ，（）_max=1，∴． …………………………………………8分

等價于，即在[1，＋∞）恒成立，

而∈（0，1]，．

綜上，m的取值范圍是． ………………………………………………10分

（3）構造，．

當時，，，，所以在[1，e]上不存在一個，使得成立． ………………………………………………………12分

當時，．…………………………14分

因為，所以，，所以在恒成立．

故在上單調遞增，，只要，

解得．

故的取值范圍是．………………………………………………………16分

20．（本小題16分）

已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且．

（1）求a的值；

    （2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，問數列中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由．

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又，故b≥3． …………………………2分

再由，得  ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．  ………………………………………………………4分

于是，根據，可得．…………………………………………………6分

（2）由，對于任意的，均存在，使得，則

．

又，由數的整除性，得b是5的約數．

故，b=5．

所以b=5時，存在正自然數滿足題意．…………………………………………9分

（3）設數列中，成等比數列，由，，得