題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面是直角梯形，
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面
底面ABCD，
是BC中點，AO交BD于E.（I）求證：
；（II）求二面角
的大��；（III）求證：平面
平面PAB.
（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面
底面ABCD，O是BC中點，AO交BD于E.
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求證：平面
平面PAB.
（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，點M、N分別在側棱PD、PC上，且
.
（Ⅰ）求證：PC⊥AM； （Ⅱ）求證：PC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求二面角B—AN—M的大小.
（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，點M、N分別在側棱PD、PC上，且
.
（Ⅰ）求證：PC⊥AM； （Ⅱ）求證：PC⊥平面AMN；
（Ⅲ）求二面角B—AN—M的大小.
（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點
分別在側棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題
11．
12．
13．
14．2+
15．
三、解答題
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1+2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
時
9分
結合⑴知：
故m的取值范圍是（1，4） 12分
17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分
⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE＝
故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，則AE＝，此時
∴AH＝
，由平幾知識得PA＝2 7分
因為PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30o＝
，AO＝AE?cos30o＝
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45o＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值為
12分
注：向量法及其它方法可參照給分。
18．⑴設平均數為
，
即測量50次的平均值為
⑵
7分
⑶每一次測得數據為
10分
故所求概率
12分
19．⑴容器底面是邊長為(2－2x)的正三角形，高為x
∴
∴
故定義域為
⑵
，
5分
令V'＝0得x＜
或x＞1；V'＜0得
∴V在(0，)和(1，＋∞)上單調遞增，在(，1)上單調遞減
當
時，x＝時，V最大，Vmax＝V()＝
當
即
時，由V在(0，)上遞增知
x＝
時，V最大，Vmax＝
20．⑴由
得ax2＋(
∴當且僅當
時，有唯一解x＝0，∴
當
得x1＝2，由
∴數列
是首項為
，公差為
的等差數列
∴
7分
⑵
又
∴
且an＞0，a2＝
∴
即
當n≥2時，
故
21．⑴設橢圓方程為
，F(c，0)
則AB∶y＝x－c代入
得(a2＋b2)x2－
令A(x1、y1)、B(x2、y2)，則
由
與
共線
得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，又y1＝x1－c，y2＝x2－c
∴3(x1＋x2－
∴
即a2＝3b2，故
7分
⑵由⑴知a2＝3b2，橢圓方程可化為x2＋3y2＝3b2
設
＝(x，y)，則(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)
∴
∵M(x，y)在橢圓上
∴(λx1＋μx2)2＋(λy2＋μy2)2＝3b2
即λ2(x12＋3y12)＋μ2(3x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2 ①
由⑴知，x1＋x2＝
，a2＝
，b2＝
∴x1x2＝
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋
＝
又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2代入①得λ2＋μ2＝1 14分
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