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如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為

6

2

．
（1）證明：AE⊥PD；
（3）求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱錐P-AEF的體積．

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如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為．
（1）證明：AE⊥PD；
（3）求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱錐P-AEF的體積．

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如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)。H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為。
（1）證明：AE⊥PD；
（2）求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（3）若AB=2，求三棱錐P-AEF的體積。

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一、選擇題

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題

11．真　　12．　　13．　　14．2＋　　15．－2

三、解答題

16．⑴∵                                                                               1分

＝                                                                                                 3分

又由得    ∴                            5分

故，f (x)_max＝1＋2×1＝3                                         6分

⑵＜2在上恒成立時(shí)        9分

結(jié)合⑴知：  故m的取值范圍是（1，4）                        12分

17．⑴連結(jié)AC，△ABC為正△，又E為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。        4分

⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角         5分

而tan∠AHE＝故當(dāng)AH最小即AH⊥PD時(shí)EH與平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令A(yù)B＝2，則AE＝，此時(shí)

∴AH＝，由平幾知識(shí)得PA＝2                                                          7分

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC

過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO

為二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝，AO＝AE?cos30°＝

又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值為                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可參照給分。

18．⑴P_甲＝0.8×0.85＝0.68，P_乙＝0.75×0.8＝0.6                                         3分

⑵隨機(jī)變量ξ、η的分布列如下：

ξ

5

2.5

η

2.5

1.5

P

0.68

0.32

P

0.6

0.4

Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1                  7分

⑶由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y               9分

作出可行域（如圖）：

作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移到l₁位置時(shí)

直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大

此時(shí)Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)

即x＝y(tǒng)＝4時(shí)，z取最大值25.2。                                                            12分

19．⑴由題設(shè)及平面幾何知識(shí)得

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支由，

∴b²＝c²－a²＝5，故所求P點(diǎn)的軌跡方程為               3分

⑵易知直線x?my?3＝0恒過雙曲線焦點(diǎn)B(3，0)

設(shè)該直線與雙曲線右支相交于D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)由雙曲線第二定義知

，又a＝2，c＝3，

∴e＝則                                                               5分

由|DE|＝5，得，從而易知僅當(dāng)m＝0時(shí)，滿足|DE|＝5

故所求m＝0                                                                                          7分

⑶設(shè)P(x，y)，P₁(x₁、y₁)，P₂(x₂、y₂)且P分有向線段所成的比為λ，則

，又點(diǎn)P(x，y)在雙曲線

上，∴，化簡(jiǎn)得，

又，，∴         9分

令  ∵在上單減，在上單增，

又    ∴在上單減，在上單增，∴u_min＝u(1)＝4，

又，    ∴u_min＝

故的最小值為9，最大值為。

20．⑴由已知，對(duì)于n∈N_＋總有①，∴②

①－②得∴

∵a_n＞0，∴∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列

又n＝1時(shí)，，解得a₁＝1，∴a_n＝n(n∈N_＋)。                    4分

⑵證明：∵a_n＝n，則對(duì)任意和，總有         6分

∴

                                                                                                             8分

⑶解：由已知，，

，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列    10分

令，則

∴當(dāng)x≥3時(shí)，f’ (x)<0，故在內(nèi)f (x)單減                             12分

由a_n＋1＝(c_n)^n＋1知

∴n≥2時(shí)，是單減數(shù)列，即{c_n}是單減數(shù)列，又c₁<c₂

∴{c_n}中最大項(xiàng)為

21．⑴                                          3分

故當(dāng)x∈(0，1)時(shí)＞0，x∈(1，＋∞)時(shí)＜0

所以在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減                                               5分

由此知在(0，＋∞)內(nèi)的極大值為＝ln2，沒有極小值                 6分

⑵(i)當(dāng)a≤0時(shí)，由于

故關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞)                                          10分

(ii)當(dāng)a＞0時(shí)，由知

其中n為正整數(shù)，且有

又n≥2時(shí)，且

取整數(shù)n_o滿足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即當(dāng)a＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                13分

綜合(i)、(ii)知，存在a使得關(guān)于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]

法二：

注：事實(shí)上，注意到定義域?yàn)?0，＋∞)，只須求之下限

結(jié)合(1)，并計(jì)算得

故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]