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設(shè)橢圓C：（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若P 是橢圓上的一點(diǎn)，，離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過定點(diǎn)P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．

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（13分）已知拋物線與直線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）當(dāng)k=1時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；
（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時(shí)，求線段AB中點(diǎn)C的軌跡方程；
（III）設(shè)是該拋物線的準(zhǔn)線．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，上是否存在點(diǎn)D，使得？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如不存在，說明理由． 

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一、選擇題

1．B    2．C    3．C    4．C    5．B    6．A

7．A    8．D    9．B    10.D   

二、填空題

11．86；1.6；12.1/6   13.（ 4，8）   14.108   15.(1),（2）,(3)

三、解答題

16．解：（1）由已知得 解得．設(shè)數(shù)列的公比為，

由，可得．又，可知，

即，

解得． 由題意得．  ．

故數(shù)列的通項(xiàng)為．……………………………6分

   （2）由于   由（1）得 

=  ……………..13分

17．(1)∵=a， AB=2a，BC=a，

E為的中點(diǎn)。

∴，

DE⊥CE……（2分）

又∵∴DE⊥EB  ，而                      

∴DE⊥平面BCE…（6分）

(2) 取DC的中點(diǎn)F，則EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的一個(gè)平面角。……………………（8分）

由題意得  EF=a，在Rt△ 中，…………（10分）

∴∠EHF＝.……………………………………………（13分）

18．解：由已知，得，

（1）若，。若A是直角，則k=-2；若B是直角，則

k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為

（2）若，且k≠.區(qū)間長(zhǎng)度L=6.若B是鈍角，則-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是鈍角的概率

k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，則2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率為.

求△ABC是直角三角形的概率.

19．解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，

長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，

故曲線C的方程為．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足

消去y并整理得，

故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，即．而，

于是．

所以時(shí)，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分

當(dāng)時(shí)，，．

，

而，

所以．   13分

20．解：（1） 

當(dāng)時(shí)，

函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。…….3分

   （2）假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱軸為x＝－1，∴即  

由②知對(duì),都有

令得又因?yàn)?sub>恒成立， 

，即，即

由得，

當(dāng)時(shí)，，其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又對(duì),都有，滿足條件②。

∴存在，使同時(shí)滿足條件①、②。…..8分

   （3）令，則

，

在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，使成立。….13分

21．（1）1;    (2)

（2）（1）設(shè)M=，則有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線l上一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點(diǎn)P’(x’，y’)．

因?yàn)?sub>，所以又m：，

所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分

．

不等式證明選講）若，證明 。

柯西不等式一步可得

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