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下表為某體育訓練隊跳高與跳遠成績的統計表，全隊有隊員40人，成績分為1分至5分五個檔次，例如表中所示：跳高成績為4分的人數是：1+0+2+5+1=9人；跳遠成績為2分的人數是：0+5+4+0+1=10人；跳高成績為4分且跳遠成績為2分的隊員為5人．
將記載著跳高、跳遠成績的全部隊員的姓名卡40張混合在一起，任取一張，記該卡片隊員的跳高成績為x，跳遠成績為y，設x，y為隨機變量（注：沒有相同姓名的隊員）
（1）求m+n的值；
（2）求x=4的概率及x≥3且y=5的概率；
（3）若y的數學期望為

105

40

，求m，n的值．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

   BDACC   ACDDB  AA

二、填空題（每小題4分，共16分）

  （13） ；   （14）；   （15）；   （16）②③。

三、解答題（共74分）

（17）解：（I）由于弦定理，

有

代入得。

                                           …………………………………4分

即。

      ……………………………………6分

                              ……………………………………7分

                   …………………………………8分

（Ⅱ），                     ………………………………10分

 由，得。             ………………………………11分

所以，當時，取得最小值為0，   ………………………………12分

（18）解：（I）由已知得

              故

              即

              故數列為等比數列，且

              又當時，

                                   ………………………………6分

              而亦適合上式

                                …………………………………8分

         （Ⅱ）

               所以

                                      ………………………………12分

（19）解：（I）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的底面的邊長為1的正方形，側棱，

                                                   ……………………………4分

        （Ⅱ）連結交于，則為的中點，

             為的中點，

             ，

             又平面內，

             平面                   ………………8分

        （Ⅲ）不論點在何位置，都有   ………………9分

             證明：連結，是正方形，

                   又，

                           …………12分

（20分）解：

(I）利用樹形圖我們可以列出連續抽取2張卡片的所有可能結果（如下圖所示）。

            由上圖可以看出，實驗的所有可能結果數為20．因為每次都隨機抽取，因次

這20種結果出現的可能性是相同的，實驗屬于古典概型。 ……………2分用

表示事“連續抽取2人都是女生”，則與互斥，并且表示事

件“連續抽取2張卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能結果可

以看出，的結果有12種，的結果有2種，由互斥事件的概率加法公式，

可得

，

即連續抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7……………6分

      （Ⅱ）有放回地連續抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個有序實數對表示抽取的結果，例如“第一次取出2號，第二次取出4號”就用（2，4）來表示，所有的可能結果可以用下表列出。

   第二次抽取

第一次抽取

1

2

3

4

5

1

（1，1）

（1，2）

（1，3）

（1，4）

（1，5）

2

（2，1）

（2，2）

（2，3）

（2，4）

（2，5）

3

（3，1）

（3，2）

（3，3）

（3，4）

（3，5）

4

（4，1）

（4，2）

（4，3）

（4，4）

（4，5）

5

（5，1）

（5，2）

（5，3）

（5，4）

（5，5）

           試驗的所有可能結果數為25，并且這25種結果出現的可能性是相同的，試驗屬于古典型。                                …………………………8分

           用表示事件“獨唱和朗誦由同一個人表演”，由上表可以看出，的結果共

有5種，因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率

                      ……………………………12分

（21）解：

（I）

          依題意有                           ………………………2分

          即  解得          …………………………4分

          由，得                   

           的單調遞減區間是            ………………………6分

     （Ⅱ）由  得   ………………………8分

           不等式組確定的平面區域如圖陰影部分所示：

           由   得        ………………………8分

            不等式組確定的平面區域如圖陰影部分所示：

           由   得

            點的坐標為（0，-1）．   ………………10分

           設則表示平面區域內的點（）與點

            連線斜率。

            由圖可知或，

            即……………12分

（22）解：

（I）設橢圓方程為

     則根據題意，雙曲線的方程為

     且滿足

           解方程組得    ……………………4分

     橢圓的方程為，雙曲線的方程 ………………6分

（Ⅱ）由（I）得

      設則由得為的中點，所以點坐標為

，

將坐標代入橢圓和雙曲線方程，得

消去，得

解之得或（舍）

所以，由此可得

所以                        …………………………10分

當為時，直線的方程是

即

代入，得

所以或-5（舍）                ……………………………12分

所以

軸。

所以   ……………………14分