已知函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，直線m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求函數f（x）=ax³+3x²-6ax-11在區間（-2，3）上的極值；
（2）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是y=g（x）的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由；
（3）如果對于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．