題目列表(包括答案和解析)
在棱長為
1的正方體
中，M、N分別是
、
的中點，求直線AM與CN所成角的余弦值．在棱長為1的正方體
中，
、
分別為棱
、
的中點，則點
到平面
的距離為
棱長為1的正方體ABCD—
，E、F分別為
、DC的中點，P是AB的中點，Q是AD上的動點，則四面體PEFQ的體積
[
]
在棱長為1的正方體
中，
、
分別為棱
、
的中點，則點
到平面
的距離為
中，
、
分別為棱
、
的中點，則點
到平面
的距離為 一、選擇題（每小題5分，共60分）
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空題（每小題5分，共20分）
13.2 14.
15.
16.③④
三、解答題（共70分）
17. （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
; ………………………… 5分
（Ⅱ）
，
.
………………………………………… 10分
18．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設A隊得分為2分的事件為
,
∴
………… 4分
（Ⅱ）
的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ;
,
, 
, 
,
0
1
2
3
∴的分布列為:
………… 8分
于是 
, ……………… 9分
∵ 
, ∴ 
……………………… 11分
由于
, 故B隊比A隊實力較強. ……………………… 12分
19．（本小題滿分12分）
解法一
（Ⅰ）連結
，
∵
平面
，平面
∩平面
∴
又∵
是
的中點
∴
是
的中點
∵
∴
，
∴
是二面角
的平面角.
，
在直角三角形
中，
，
………… 6分
（Ⅱ）解：過
作
，垂足為
，連結
，
∵是三角形的中位線，
∴
∵
面
∴
面
∴
，又
∴
平面
為
在平面上的射影，
又∵，由三垂線定理逆定理，得
∴
為二面角
的平面角
∵
，
在直角三角形
中，
，
∴二面角的大小為
. ……………… 12分
解法二：
（Ⅰ）建立如圖所示空間坐標系
，則
, 
，
平面
的法向量為
由
得
,
平面
,
.
所以點是棱的中點.
平面
的法向量
，
，
即
（Ⅱ）設平面
的法向量為
，平面
的法向量
，
，
∵二面角
為銳角
∴二面角的大小為
20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
的定義域為
.
，令
得:
所以在
內為增函數,在
內為減函數. ……………… 6分
（Ⅱ）由題意得:
, 
為遞增函數,
;
為遞增函數, 
的取值范圍為
.
……………… 12分
21． （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）過點
作
垂直直線
于點
依題意得：
，
所以動點的軌跡為是以
為焦點，直線為準線的拋物線，
即曲線
的方程是
………………………4分
（Ⅱ）設
、
，
，則
由
知，
， ∴
，
又∵切線AQ的方程為：
，注意到
切線AQ的方程可化為：
；
由在切線AQ上， ∴
于是在直線
上
同理，由切線BQ的方程可得：
于是在直線上
所以，直線AB的方程為：，
又把
代入上式得：
∴直線AB的方程為：
∴直線AB必過定點
.
………………………12分
（Ⅱ）解法二：設，切點的坐標為
，則
由知，，得切線方程：
即為：
，又∵在切線上，
所以可得：
，又把代入上式得：
，解之得：
∴
，
故直線AB的方程為：
化簡得：
∴直線AB的方程為：
∴直線AB必過定點.
22．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由
①
得：
②
①-②得
，
即有
,
數列
是從第二項為
，公比為
的等比數列
即
， ……………………5分
而
滿足該式， . ……………………6分
（Ⅱ）
， 
要使
恒成立
恒成立
即
當
為奇數時，
恒成立，而
的最小值為
………………………………………………10分
當為偶數時，
恒成立，而
的最大值為
或
所以，存在
，使得對任意
都有. ……………………………………12分
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