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在2008年北京奧運會某項目的選拔比賽中，A、B兩個代表隊進行對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁、A₂、A₃，B隊隊員是B₁、B₂、B₃，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下表，現按表中對陣方式出場進行三場比賽，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η，且ξ+η=3．

對陣隊員	A隊隊員勝	A隊隊員負
A1對B1
A2對B2
A3對B3

（Ⅰ）求A隊得分為1分的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列；并用統計學的知識說明哪個隊實力較強．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.A   2.A   3.B   4.D   5.C   6.C   7.B   8.B   9.B   10.D   11.C    12.D

二、填空題（每小題5分，共20分）

13.2     14.    15.    16.③④

三、解答題（共70分）

17. （本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）由  可得：

     又     ;        ………………………… 5分

（Ⅱ），

.                               ………………………………………… 10分

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設A隊得分為2分的事件為,

∴  ………… 4分

（Ⅱ）的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ;   

,    ,    , ,  

0

1

2

3

∴的分布列為:                          

………… 8分

      于是 , ……………… 9分

∵ ,    ∴     ……………………… 11分

由于, 故B隊比A隊實力較強.    ……………………… 12分

19．（本小題滿分12分）

解法一

（Ⅰ）連結，

     ∵平面，平面∩平面

∴

又∵是的中點

∴是的中點

    ∵

∴，

∴是二面角的平面角.

，

    在直角三角形中，，   ………… 6分

（Ⅱ）解：過 作，垂足為，連結，

∵是三角形的中位線，

∴

∵面

∴面

∴，又

     ∴平面

為在平面上的射影，

又∵，由三垂線定理逆定理，得

∴為二面角的平面角

∵，

在直角三角形中，，

    ∴二面角的大小為.      ……………… 12分

解法二：

（Ⅰ）建立如圖所示空間坐標系，則,

，

平面的法向量為由

得,

平面 ,.

所以點是棱的中點.

平面的法向量，，

即

（Ⅱ）設平面的法向量為，平面的法向量

，，

∵二面角為銳角

∴二面角的大小為

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）的定義域為.

，令得:

所以在內為增函數,在內為減函數.     ……………… 6分

  （Ⅱ）由題意得:,

為遞增函數,;

為遞增函數,

的取值范圍為.                                  ……………… 12分

21． （本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）過點作垂直直線于點

依題意得：，

所以動點的軌跡為是以為焦點，直線為準線的拋物線，

即曲線的方程是                                ………………………4分

（Ⅱ）設、 ，  ，則

由知，， ∴，

又∵切線AQ的方程為：，注意到

切線AQ的方程可化為：；

由在切線AQ上， ∴    

于是在直線上

同理，由切線BQ的方程可得：   

于是在直線上

所以，直線AB的方程為：，

又把代入上式得：

∴直線AB的方程為：

∴直線AB必過定點.              ………………………12分

（Ⅱ）解法二：設，切點的坐標為，則

由知，，得切線方程：

即為：，又∵在切線上，

所以可得：，又把代入上式得：

，解之得：

∴，

故直線AB的方程為：

化簡得：

∴直線AB的方程為：

∴直線AB必過定點.

22．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由①

        得：②

①-②得，

即有,

數列是從第二項為，公比為的等比數列

  即， ……………………5分

而滿足該式， .  ……………………6分

（Ⅱ）  ，   要使恒成立

恒成立

即

當為奇數時，恒成立，而的最小值為   

                             ………………………………………………10分

當為偶數時，恒成立，而的最大值為 

或

所以，存在，使得對任意都有.  ……………………………………12分