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橢圓C的中心為坐標原點O，點A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點，B為橢圓的上頂點，一個焦點為F（

3

，0），離心率為

3

2

．點M是橢圓C上在第一象限內的一個動點，直線A₁M與y軸交于點P，直線A₂M與y軸交于點Q．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若把直線MA₁，MA₂的斜率分別記作k₁，k₂，求證：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在點M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

橢圓C的中心為坐標原點O，點A₁，A₂分別是橢圓的左、右頂點，B為橢圓的上頂點，一個焦點為F（

3

，0），離心率為

3

2

．點M是橢圓C上在第一象限內的一個動點，直線A₁M與y軸交于點P，直線A₂M與y軸交于點Q．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）若把直線MA₁，MA₂的斜率分別記作k₁，k₂，求證：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在點M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

已知橢圓C₁的中心在原點，離心率為

4

5

，焦點在x軸上且長軸長為10．過雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦點F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線C₂于M、N兩點．
（I）求橢圓C₁的標準方程；
（II）若雙曲線C₂與橢圓C₁有公共的焦點，且以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的左頂點A，求雙曲線C₂的標準方程；
（III）若以MN為直徑的圓與雙曲線C₂的左支有交點，求雙曲線C₂的離心率的取值范圍．