如圖，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA₁上，AN=

1

4

．
（1）求BC₁與側(cè)面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，

C1E

=

1

3

EA1

，

C1F

=

1

4

FB1

，

C1H

=x

C1A1

+y

C1B1

，求x+y的值．

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如圖：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB=

AA1

3

=a，E，F(xiàn)分別是BB₁，CC₁上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-AEF的體積．

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如圖：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB₁，CC₁上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-AEF的體積．

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一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）

題號(hào)

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

A

B

A

B

D

D

A

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分）

（9）1　　             （10）1，［0，1］                （11）

（12）               （13）（-2，］∪［，2)     （14）4，（5，1，3）

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

（15）（本小題共12分）

      解：（Ⅰ）f (x)=sin²x+2

………………………………………2分

=

=2sin(2x)………………………………………………………14分

         所以T==.……………………………………………………………………5分

    由+≤2x-≤+(kZ)得

       +≤x≤kπ+(kZ).…………………………………………………7分

所以函數(shù)f (x)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為［，］（kZ）.

(Ⅱ)由(Ⅰ)有f(x)=2sin(2x-).

    因?yàn)閤，，

    所以.…………………………………………………………8分

因?yàn)閟in()=sin＜sin，

所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f (x)取得最小值-；當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f (x)取得最大值2.………………………………………………………………………………12分

（16）（本小題共12分）

解：（Ⅰ）因?yàn)閒 (x)=x²(x＞0)，所以g(x)=（x＞0）.

          從而f ′(x)=2x，g′(x)=.…………………………………………3分

所以切線l₁，l₂的斜率分別為k₁=f′(x₀)=2x₀，k₂= g′(y₀)= .

又y₀=( x₀＞0)，所以k₂=.………………………………………4分

因?yàn)閮汕芯�l₁，l₂平行，所以k₁= k₂. …………………………………5分

從而(2x₀)² =1.

因?yàn)閤₀＞0.

所以x₀=

所以M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，（，）.………………7分

         （Ⅱ）設(shè)過O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x²+y²+Dx+Ey+F=0.

               因?yàn)閳A過原點(diǎn)，所以F =0.因?yàn)镸、N關(guān)于直線y =x對(duì)稱，所以圓心在直線y=x

上.

所以D =E.………………………………………………………………………10分

又因?yàn)镸 (，)在圓上，

所以D =E =.

所以過O、M、N三點(diǎn)的圓的方程為:x²+ y² .………12分

（17）（本小題共14分）

（Ⅰ）證明:連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，連結(jié)DG.

在正三棱柱ABC- A₁B₁ C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

∴AG=GC₁.

∵AD=DB，

∴DG∥BC₁.………………………2分

∵DG平面A₁DC，BC₁平面A₁DC，

∴BC₁∥平面A₁DC.…………………4分

解法一：(Ⅱ)連結(jié)DC₁，設(shè)C₁到平面A₁DC的距

離為h.

∵四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，

∴S_△= S_△.

∴V=V.

∵S_△ACD?AA₁=，

∴=.…………………………………………………………………………6分

在等邊三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD =，CD⊥AB.

∵AD是A₁D在平面ABC內(nèi)的射影，

∴CD⊥A₁D.……………………………………………………………………………8分

∴S_△=…………………………………………………………………9分

∴h=………………………………………………………………………9分

(Ⅲ)過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC于E，過點(diǎn)D作DF⊥A₁C交A₁C于F，連結(jié)EF.

∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，DE平面ABC，

平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，

∴DE⊥平面ACC₁A₁.

∴EF是DF在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影.

∴EF⊥A₁C.

      ∴∠DEF是二面角D-A₁C-A的平面角.

       ……………………………………12分

在直角三角形ADC中，DE ==.

同理可求：DF=

∴sinDEF=.

∵∠DEF，

∴∠DFE=arcsin.………………………………………………………………14分

解法二：過點(diǎn)A作AO⊥BC交BC于O，過點(diǎn)O作OE⊥BC交B₁C₁于E.因?yàn)槠矫?/p>

ABC⊥平面CBB₁C₁，所以AO⊥平面CBB₁C₁.分別以CB、OE、OA所在的直線為x

軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)锽C=1，AA₁=，△ABC是等

邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn).則

O(0，0，0)，，，

，，

C₁………………6分

(Ⅱ)設(shè)平面A₁DC的法向量為n=(x，y，z)，

則

∵=(，0，)，=（，，），

∴

取x =，得平面A₁DC的一個(gè)法向量為n =(，1，-3).………………………………8分

∴C₁到平面A₁DC的距離為：     =.…………………………………10分

（Ⅲ）同(Ⅱ)可求平面ACA₁的一個(gè)法向量為n₁=(，0，-1).………………………12分

      設(shè)二面角D-A₁C-A的大小為θ，則cosθ=cos＜n，n₁＞==.

       ∵(0，π)，

       ∴=arccos.…………………………………………………………………14分（18）（本小題共14分）

解（Ⅰ）由已知得P₁+P₂+P₃=1.

        ∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1.

∵P₁，P₂是方程25x²-15x +a=0的兩個(gè)根，

∴P₁+P₂ =.

∴P₁=，P₂=P₃=.…………………………………………………………3分

（Ⅱ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400.…………………………………4分

      P(ξ=0) =×=，

      P(ξ=100) =2××=，

P(ξ=200) =2××+×=，

P(ξ=300) =2××=，

P(ξ=400) = ×=.……………………………………………………9分

隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ

0

100

200

300

400

P

（Ⅲ）銷售利潤總和的平均值為………………………………………………………11分

Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240.

∴銷售兩臺(tái)這種家用電器的利潤總和的平均值為240元.……………………14分

注：只求出Eξ，沒有說明平均值為240元，扣1分.

（19）（本小題共14分）

解：(Ⅰ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則直線PA，PB的斜率分別是，.

        由條件得?=.………………………………………………3分

    即+y² =1（x≠0）.

         所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為+y² =1(x≠0).………………………5分

    注：無x≠0扣1分.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是(x₁，y₁)，(x₂，y₂).

   當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x₁= x₂= -1，y₁=-y₂，=.

所以=（x₁-2，y₁）=(-3，y₁)，=（x₂-2，y₂）=（-3，-y₁）.

所以?=9-=.…………………………………………………7分

當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)，

由 得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0.

所以x₁+x₂=，x₁x₂=.………………………………………9分

所以?=（x₁-2）(x₂-2)+y₁y₂= x₁x₂-2(x₁+x₂) +4+y₁y₂.

因?yàn)閥₁=k (x₁+1)，y₂=（x₂+1），

所以?=(k² +1)x₁x₂+（k²-2）(x₁+x₂)+k²+4=-＜.

綜上所述?的最大值是.……………………………………11分

因?yàn)镾≤tanMQN恒成立，

即||?||sinMQN≤恒成立.

由于?=＞0.

所以cosMQN＞0.

所以?≤2恒成立.……………………………………………13分

所以的最小值為.……………………………………………………14分

注：沒有判斷∠MQN為銳角，扣1分.

（20）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）{a_n}不是無界正數(shù)列，理由如下：………………………………………1分

取M=5，顯然a_n=3+2sin(n) ≤5，不存在正整數(shù)n₀滿足＞5；………………2分

{b_n}是無界正數(shù)列.理由如下：………………………………………………………3分

對(duì)任意的正數(shù)M，取n₀為大于2M的一個(gè)偶數(shù)，有＞＞M，所以

       {b_n}是無界正數(shù)列.…………………………………………………………………4分

     （Ⅱ）存在滿足題意的正整數(shù)k.理由如下：

當(dāng)n≥3時(shí)，

因?yàn)?sub>

=≥＞，

即取k=3，對(duì)于一切n≥k，有＜n成立.………………9分

注:k取大于或等于3的整數(shù)即可.

    （Ⅲ）證明：因?yàn)閿?shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的正數(shù)列，

所以

＞

即＜n-1+.

因?yàn)閧a_n}是無界正數(shù)列，取M =2a₁，由定義知存在正整數(shù)n₁，使＞2a₁，

所以＜n₁.

由定義可知{a_n}是無窮數(shù)列，考察數(shù)列，，，…，顯然這仍是一個(gè)單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)n_2，使得

＜（n₂-n₁）.

重復(fù)上述操作，直到確定相應(yīng)的正整數(shù)n₄₀₁₈.

則＜

=-2009.

即存在正整數(shù)m=，使得＜m-2009成立.

…………………………………………………………………………………14分

說明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.