題目列表(包括答案和解析)
已知正項數列
的前n項和
滿足：
，
（1）求數列的通項
和前n項和；
（2）求數列
的前n項和
；
（3）證明：不等式 
對任意的
，
都成立．
【解析】第一問中，由于所以
兩式作差
，然后得到
從而
得到結論
第二問中，
利用裂項求和的思想得到結論。
第三問中，
又
結合放縮法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ………2分
又∵正項數列，∴
∴
又n=1時，
∴
∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
（2）
…………………6分
∴
…………………9分
（3）
…………………12分
又
，
∴不等式 對任意的，都成立．
已知等差數列{an}的首項為4，公差為4，其前n項和為Sn，則數列 {
}的前n項和為（ �。�
|
| A． |
| B． |
| C． |
| D． |
|
| 考點： | 數列的求和；等差數列的性質． |
| 專題： | 等差數列與等比數列． |
| 分析： | 利用等差數列的前n項和即可得出Sn，再利用“裂項求和”即可得出數列 { |
| 解答： | 解：∵Sn=4n+ ∴ ∴數列 { 故選A． |
| 點評： | 熟練掌握等差數列的前n項和公式、“裂項求和”是解題的關鍵． |
已知
=2，點（
）在函數
的圖像上，其中
=
.
（1）設
，求
及數列{
}的通項公式；
（2）記
，求數列{
}的前n項和
，并求
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式和數列求和的運用。注意構造等比數列的思想的運用。并能運用裂項求和。
在等差數列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數列{bn}的各項均為正數，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，
.（Ⅰ）求an 與bn；（Ⅱ）設數列{cn}滿足
，求{cn}的前n項和Tn.
【解析】本試題主要是考查了等比數列的通項公式和求和的運用。第一問中，利用等比數列{bn}的各項均為正數，b1=1，公比為q,且b2+ S2=12，，可得
，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二問中，，由第一問中知道
，然后利用裂項求和得到Tn.
解： (Ⅰ) 設：{an}的公差為d,
因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因為……………8分
已知正數數列{an }中，a1 =2.若關于x的方程
（
）對任意自然數n都有相等的實根．
(1)求a2 ,a3的值；
(2)求證
【解析】(1)中由題意得△
，即
,進而可得
,.
(2)中由于，所以
，因為
，所以數列
是以為首項，公比為2的等比數列，知數列
是以
為首項，公比為
的等比數列，利用裂項求和得到不等式的證明。
(1)由題意得△，即,進而可得
(2)由于，所以，因為，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，知數列是以為首項，公比為的等比數列，于是
,
所以
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=2n2+2n，
．
}的前n項和=
=
=
．