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已知數列{a_n}滿足，且a₁=3．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數列{a_n}的通項公式，并給出證明；
（2）求證：當n≥2時，．

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一、填空題：

1． ，均有x ²+ x +1≥0  2．第一象限  3．充分而不必要條件  4． 0.01

5． 4   6． 2550   7．    8．①④  9．  R(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)

10． ，11．   12．1  13．  14．

二、解答題：

15．（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：

     3′

直方圖如右所示        6′

（Ⅱ）依題意，60及以上的分數所在的第三、四、五、六組，頻率和為 所以，抽樣學生成績的合格率是%..       9 ′

利用組中值估算抽樣學生的平均分

＝

＝71

估計這次考試的平均分是71分                                            12′      

16.（1）證明:連結BD.

在長方體中，對角線.

又 E、F為棱AD、AB的中點，

 .

 .                           

又B₁D₁平面，平面，

  EF∥平面CB₁D₁.                       6′

（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

 AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.                 

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．                    13′

17． （1）由得                  4′

       由正弦定理得

                                       6′

                    8′

 （2）

     =                                  10′

 =                                          12′

  由（1）得

                            15′

18．（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程為：y²＋＝1　                  5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O點與P點重合=              7′

當O點與P點重合=時，m=0

當λ＝3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。

設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                          11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                         13′

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易驗證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′

19． ⑴由題意得                  4′

（n≥2），

又∵，

數列是以為首項，以2為公比的等比數列。        8′

[則（）]

⑵由及得

，                                   11′

則          13′

                                               16′

20． （1）設

                ∴     ∴

           由

           又∵    ∴    

∴                               6′ 

           于是

由得或；   由得或

           故函數的單調遞增區間為和，

單調減區間為和                              10′

（2）證明:據題意且x₁<x₂<x₃,

由(1)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃),

          14′

即ㄓ是鈍角三角形．                                            18′

第Ⅱ部分  加試內容

一．必答題：

1．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到的函數是奇函數”，由題意知                       4′

   （2）ξ可取1，2，3，4.

    ，

    ；    8′

    故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

答：ξ的數學期望為                                      10′

2．（1）由得，

求得                               3′

（2）猜想                                     5′

證明：①當n=1時，猜想成立。                            6′

②設當n=k時時，猜想成立，即，      7′

則當n=k+1時，有，

所以當n=k+1時猜想也成立                                9′

③綜合①②，猜想對任何都成立。                  10′

二、選答題：

3．（1）∵DE²=EF?EC，

          ∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．----5′

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于點E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．   10′

4．（矩陣與變換）

解：．

，                                                5′

橢圓在的作用下的新曲線的方程為         10′

5．（1）直線的參數方程為，即．         5′

   （2）把直線代入，

得，，
則點到兩點的距離之積為．                   10′

6．

        7′

當且僅當  且

 F有最小值                                         10′