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如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三邊A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分別與曲線S切于點P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面積的最小值．

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C與底面ABC所成的角為

π

4

，AB=BC=

2

，∠ABC=

π

2

，設E、F分別AB、A₁C的中點
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁E
（Ⅱ）求證：EF∥平面BCC₁B₁
（Ⅲ）求以EC為棱，B₁EC與BEC為面的二面角的正切值．