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在平面直角坐標系xoy中，動點P到定點(0，

3

)距離與到定直線：y=

4 3

3

的距離之比為

3

2

．設動點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設直線y=kx+1與交于A，B兩點，當|

AB

|=

8 2

5

時，求實數k的值．
（3）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|

OA

|＞|

OB

|.

在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設圓C₁和x軸相交于A、B兩點，點P為圓C₁上不同于A、B的任意一點，直線PA、PB交y軸于M、N點．當點P變化時，以MN為直徑的圓C₂是否經過圓C₁內一定點？請證明你的結論；
（3）若△RST的頂點R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過圓心C₁，∠SRT=30°，求點R的縱坐標的范圍．

在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=

1

4

x²．實數p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點，A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

2

；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點分別為E（p₁，

1

4

p

2 1

），E′（p₂，

1

4

p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=

|p1|

2

．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

1

4

（x+1）²-

5

4

}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）