題目列表(包括答案和解析)
已知遞增等差數(shù)列
滿足：
，且
成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項(xiàng)公式，第二問中，不等式等價(jià)于
，利用當(dāng)
時(shí)，
；當(dāng)
時(shí)，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數(shù)學(xué)歸納法．
當(dāng)時(shí)，
，成立．
假設(shè)當(dāng)
時(shí)，不等式
成立，
當(dāng)
時(shí)，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調(diào)性證明．
要證
只要證 
，
設(shè)數(shù)列
的通項(xiàng)公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
（08年朝陽區(qū)綜合練習(xí)一）（14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，對一切
，點(diǎn)
都在函數(shù)
的圖象上．
（Ⅰ）求
的值，猜想
的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（
），（
，
），（
，
，
），（
，
，
，
）；（
），（
，
），(
，
，
），（
，
，
，
）；（
），…，分別計(jì)算各個(gè)括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為
，求
的值；
（Ⅲ）設(shè)
為數(shù)列
的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)
，使得不等式
對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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